Файл: Основы динамики сооружений учеб. пособие.pdf

Скачать файл (6,39Мб)

Заказать решение

ВУЗ: Не указан

Категория: Не указан

Дисциплина: Не указана

Добавлен: 23.10.2024

Просмотров: 91

Скачиваний: 0

ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.

вместо і необходимо подставить і— и и придем к следующей зави

симости (рис. 63):
при t -С и
	у (0 =	0;
при	t > и		(t-и) g j n ф (t —		и).
	y(t)	е - п	(t-и) g j n ф (t —		и).					(7.9)
В расчетах конструкций на прочность при действии кратковре-
менных	нагрузок, как	правило	затухание		не	учитывают.					Это
			объясняется тем, что за							вре
Pit)			мя tm, т. е. к моменту дости
Pit)			жения конструкцией						макси
			мального перемещения, зату
			хание	не	оказывает			заметного
			влияния. В связи с этим целе
			сообразно получить более про
			стые выражения для случая,
			когда	диссипативные					силы		не
			учитываются. Полагая в (7.6)
			п = 0	и лр = со, получим
				у (t) =		—	sin at.			(7.10)
						mla)
			Максимальное					перемеще
			ние	масса		получит				при
			sin w t	— 1,	т. е. при			к _ _ Т _
			со£ = —		или t			к _ _ Т _
			со£ = —		или t		2ш —			4	’
							2ш —			4	’
			где Т — период свободных								ко-
			лебаний.
Величина максимального перемещения
			■S							(7.11)
		Утах ~	/яро •							(7.11)
		Утах ~	/яро •

В соответствии с определением эквивалентной статической на грузки в случае воздействия мгновенного импульса будем иметь

Я: ИУтах — У

или окончательно	Sw,		(7.12)

Как видим, эквивалентная статическая			нагрузка зависит	как
от величины импульса,	так и от	частоты	колебаний системы,
т. е. зависит от свойств системы.
Если иметь в виду формулу для		частоты колебанийо)= і /		— ,
то можно сделать вывод:			V	щ
	в случае действия мгновенного импульса

132

чем жестче и легче сооружение, тем больше величина эквивалент ной нагрузки.

Пример	11. Масса	расположена посередине невесомой балки	на шарнир
ных опорах	и подвергается воздействию мгновенного импульса S.		Пролет бал

ки /, жесткость поперечного сечения El. Найти максимальный изгибающий мо

мент	М тах в сечении под массой.
Определяем по формуле (2.8) частоту				свободных		колебаний балки
			1
	“ =			•		статическую	нагрузку —
Определяем по формуле (3.12) эквивалентную						статическую	нагрузку —
силу	Рэкв			.<?
				.<?
	Раш —	— Ѵ т\ЬП
Определяем максимальный изгибающий момент
	Рэкв^			SI
	Мтахшах —= •	л —		* , / -----г— •
Прогиб балки в среднем сечении		4		4Ѵ/Иі8п			единичной
Прогиб балки в среднем сечении		от действия			в этом же сечении		единичной
СИ Л Ы			/з
	8м =•		/з
	8м =•		48ЕІ •
	~		48ЕІ •
Подставив значение бц в формулу для				М тах,	получим
	Л4шах = 5 уГ			з -щіЦ--

§ 28. Действие произвольной непериодической силы на систему с одной степенью свободы

Пусть на массу, подвешенную на пружине, действует непериоди ческая сила, меняющаяся во времени по какому-то произвольному закону (рис. 64). Как и в предыдущем случае, будем учитывать диссипативные силы. Диффе ренциальное уравнение дви жения массы (рис. 65) будет

d2y	0 dy
m' W = ~ r y	dt + P(t).

Объединив члены, содер жащие у, в левую часть, по лучим

d2y , ady

m^ d F ^ ^ dt^ +ry==P{t) (7ЛЗ)

или

d * y	L О J y	1
dt2	+ 2ѣІ$ + 'л2У= — P (fi
dt2		rn.

(7.14)

Общее решение этого неоднородного дифференциального урав нения будет складываться из свободных и вынужденных колеба-

133

ний. При нулевых начальных условиях свободные колебания будут отсутствовать. Для получения решения, описывающего вынужден ные колебания, может быть применен метод вариации произволь ных постоянных. Однако в данном случае проще воспользоваться предыдущим результатом для

мгновенного импульса.

Итак, найдем перемещение у массы в некото рый момент времени t. Это перемещение вызы вается переменной во времени силой Р (t), дей ствующей в течение промежутка времени от нуля до рассматриваемого момента t. Сначала найдем перемещение dy, вызываемое в момент t элемен тарным импульсом P(u)du (рис. 64). Рассматри вая элементарный импульс как мгновенный импульс, действующий на массу в момент вре мени и, и применяя формулу (7.9) предыдущего параграфа, получим

	dy	— f3	du е_п(<_я) sjn (Ь(£ _ иу
	*			7 х
	Сила Р(і) может			быть представлена как сум
	ма бесконечно большого числа элементарных
	импульсов	P(u)du,	а	поэтому перемещение	массы
	в момент t, вызванное силой, действующей в про
Рис. 65	межутке от 0 до t, определится путем интегриро
Рис. 65	вания:
	вания:
	1	Р (и) е~п		sin 4>(t — и) du.	(7.15)
	у (0 =	Р (и) е~п		sin 4>(t — и) du.	(7.15)

Это и есть решение неоднородного уравнения (7.14), характе ризующее движение массы при воздействии силы P(t), меняющей произвольно свою величину во времени.

После прекращения действия возмущающей силы, т. е. при t > т, где т — продолжительность действия P(t), интегрирование должно быть выполнено в пределах от 0 до т и перемещение массы будет определяться выражением

	у (t) =	j Р(и)е~п sinty {t — u)da.	(7.16)
		о
Если	диссипативная сила не учитывается, то из		(7.15)
и (7.16)	получим	уравнения, описывающие движение	массы

в случае действия произвольной возмущающей силы при отсут ствии затухания, т. е. при п —0 и ф = «в:

134

при
у (t) = - ^ — j* Я (и) sin10 — и) du-,		(7.17)
при t > X	()
при t > X
	X
у (t) —	j* P(w) sin ® (t — и) du.	(7.18)

В дальнейшем выражениями (7.15—7.18) будем пользоваться при исследовании движения системы с одной степенью свободы при действии конкретных видов кратковременных нагрузок.

§ 29. Действие внезапно приложенной постоянной силы

К массе на пружине в момент времени і = 0 внезапно прило жена сила Р, которая остается затем постоянной. К этому случаю относится, например, внезапно приложенный к системе груз, мас сой которого можно пренебречь по сравнению с массой системы. К этому же случаю может быть сведено действие давления воз душной ударной волны на конструкцию, рассматриваемую как система с одной степенью свободы, если время действия давления значительно превосходит (в 15—20 раз) период собственных коле баний конструкции.

Из всех законов изменения нагрузки внезапно приложенная постоянная сила является наиболее опасной, так как вызывает наибольшие деформации и усилия. Но с точки зрения получения аналитического решения она является наиболее простой, так как позволяет получать простые расчетные формулы, в связи с чем результаты этого случая часто используются при оценочных рас четах. Кроме того, на основе данного случая могут быть методом наложения получены результаты для других более сложных зако нов изменения возмущающей силы (см. § 30).

Подставим значение P = const в выражение		(7.15):
	t	it)
У (0 = —т	Г е~п(^ u)sin б (t — и) du =	Г <r~n7Sjn étdt,
_	о	0

где t = t—и.

В полученный результат входит определенный интеграл. Соот ветствующий неопределенный интеграл берется двукратным интегрированием по частям, и его значение приводится в таблицах интегралов (см. Бронштейн И. Н., Семендяев К. А., Справочник по высшей математике):

Г*	еах sin bx dx =	сах
\	еах sin bx dx =	(a sin bx — b cos bx).

135

Применяем это решение и подставляем пределы

Р	е	- nt	—	- ,t
y(t):	п2	+ <J» (— га sin	— ФCOS tyt) I E=
Р		— e~ nt I ~ sin tyt +		cos <!>£)+!
/га, (n2+	<1>2)	— e~ nt I ~ sin tyt +		cos <!>£)+!
/га, (n2+	<1>2)

Имея в виду, что п2-|-ф2 = со2 и т\а>2 = г, получим

у (0 -

1 — e~nt [ cos tyt +

sin tyt

(7.19)

График этого выражения изображен на рис. 66. Как видим, движение массы представляет собой затухающее колебание отно сительно положения, которое она займет при статическом действии силы, т. е. относительно прямой

У —.Уст = Р!г-

Найдем далее из условия равенства нулю производной момент времени, в который масса будет иметь максимальное перемещение: