Файл: Основы динамики сооружений учеб. пособие.pdf

Подставляя эти значения в (7.19), получим

Рассмотрим также случай, когда внезапная нагрузка прило­ жена в момент £ = п (рис. 67). Перенесем начало отсчета в точ­

ку t = u и перейдем к новой переменной Г=?—и. Применяя выра­ жение (7.19), получим

Если затухание колебаний не учитывается, то во всех предыду­ щих выражениях необходимо принять п = 0 и ф = м. В результате из формулы (7.19) получим выражение для перемещения массы:

Максимальное перемещение масса будет получать при wtm —kn,, где k — нечетное число:

Р

Утах — 2 у — 2уст,

где уст — перемещение массы в случае статического действия силы Р.

График движения,''описываемый выражением (7.22), приведен на рис. 68. Из графика следует, что движение массы представляет

13Т

собой колебания, совершаемые относительно положения массы, которое она займет при статическом воздействии силы Р. Ампли­ туда колебаний при этом равна статическому прогибу уст.

Рис. 68

В соответствии с определением, данным в § 26, найдем эквива­ лентную статическую нагрузку

^экв ==^Ушах “ Г-2усІ. Имея в виду, что густ =Р, получаем

Таким образом, при действии на систему с одной степенью сво­ боды внезапно приложенной силы Р расчет системы, т. е. опреде­ ление ее максимального перемещения и максимальных значений внутренних усилий (например, реакции пружины), может быть произведен на статическое действие удвоенного значения этой силы.

Динамический коэффициент в рассматриваемом случае

= 2.

Пример 12. Масса т х расположена на конце консоли и подвергается воз­ действию внезапно приложенной силы Р = const. Пролет консоли I, жесткость поперечного сечения ЕІ. Найти максимальный прогиб конца консоли и наиболь­ ший по абсолютному значению изгибающий момент в сечении у защемления.

Определяем по формуле (7.23) эквивалентную статическую нагрузку:

Р ЭКВ = 2Р.

Применяя известные формулы сопротивления материалов, определяем:

— прогиб конца консоли

— изгибающий момент в сечении у защемления Мтах = — Р -IквI — 2PL

138

§30. Кинематическое возбуждение колебаний системы

содной степенью свободы

Колебание системы с одной степенью свободы можно вызвать не только воздействием возмущающей силы на массу, ист и пере­ мещением точки подвеса пружины (т. А на рис. 61) или перемеще­ нием опор невесомой балки, несущей сосредоточенную массу.

совершать движение y(t),

которое является относительным движением. Абсолютное движе­ ние массы будет равно сумме переносного и относительного движений:

Составим дифференциальное уравнение движения массы

т1d2Vаб (t) —— F — R, dt2

или

Это дифференциальное уравнение может быть записано либо относительно уаб(0 >если иметь в виду выражения (б) и (в):

либо относительно y(i), если иметь в виду (а):

139

Из сопоставления этих двух уравнений с уравнением (7.13) можно сделать следующий вывод:

На основе этого вывода для случая кинематического возбуж­ дения могут быть использованы решения § 28 и 29, если вместо P(t) в соответствующие формулы подставить значение (г) при изучении абсолютного движения массы или значение (д) при изучении относительного движения массы.

Ниже рассмотрим относительное движение массы. Введем обозначение для ускорения движения опор:

Тогда, считая P ( t ) = —niiW(t), по формуле (7.15) получим выражение, определяющее относительное движение массы при произвольном законе изменения ускорения опоры,

Полученное выражение (7.24) может быть использовано при решении и для более сложных законов изменения ускорения опор.

Исследуем действие кинематического возбуждения, заданное графиком ускорения опор по рис. 70, а. С помощью этого графика часто приближенно представляют реальный график ускорения грунтового массива в случае распространения по нему некоторых видов сейсмовзрывных волн. Как показано на рис. 70, график в виде следующих друг за другом двух прямоугольных импульсов

140

ускорения разных знаков может быть заменен сум­ мой трех графиков, к каж­ дому из которых может быть применено реше­ ние (ж). Применив метод наложения и обозначив

r{{ t ~ и) = 1 — X

XCOS Ф(t — и) +

+Y sin <!>(*— и) ,

получим' решение для каждого интервала дей­ ствия нагрузки:

перемещение в первом интервале 0< /< т і будет иметь вид

довать на max и min как для перемещения у (t), так и для абсо-

инерции, знание которых необходимо при расчете конструкции на прочность и жесткость. Силы инерции необходимо определять, исходя из абсолютных ускорений, которые находятся суммирова­ нием ускорений переносного и относительного движений:

141