Файл: Курикша, А. А. Квантовая оптика и оптическая локация (статистическая теория).pdf

спадает

с ростом

отношения

| п — г 2 |

к

длине

волны.

Если апертура велика по сравнению

с длиной

волны,

a Vj(ri,

юі, г2 , Ю2)

являются

медленными

функциями п,

/ ( ( Г ) ^ О ( Г ! — г 2 ) .

(2.1.11)

О О

dr j

%md<s> [V5 ( Г „ CD,, Г, CD) Vfc (Г,

CD, r2 > co2) —

S

0

-

Vk

(r,, со,, r, CD) V> (r, CD, r2 , CD2)J =

0.

(2.1.12)

В частности, для случая, описываемого

(2.1.4), и доста­

%ш^%а>0,

условие (2.1.12)

сводится

к требованию

взаим­

ной ортогональности весовых

функций

gj(r, со) и gj{r,t)

с разными индексами /.

Коммутирующие

эрмитовские интегральные операторы

с ядрами

(Vj (х,, х2 )

имеют общий

набор взаимноортого-

нальных

нормированных

собственных

функций

{уу (х)}

[2,3,10]. Каждое ядро

может

быть представлено рядом

Ut (x,.xs ) =

S

ч [ \

(и,) ѵ\

(х2 ),

(2.1.13)

V

где

6V =

jVv (x)a(x)dx.

(2.1.15)

В силу ортонормированности { У ѵ (х)} [£у, 6*] =

8,,,,.

Найдем совместную характеристическую

функцию

для совокупности {і7 ,}:

Ф ( Ы ) =

( е х р ( / 2 Л ) .

(2.1.16)

Оператор

Ф ( { ^ } ) .

используя

(2.1.14), можно

предста­

вить

в виде

Ф (Ы)

=

П Е Х

Р ѴяЛЬ

= ф> Ш).

(2-1

• 17)

V

где

<7Ѵ = Ц

а

Ф, ( { ^ } ) — характеристическая

функ-

і

ция

величин п. =Ъ+Ъ .

V

V

V

Усредним (2.1.17), используя Я-представление опе­

ратора плотности

р\= J р [а (х) ] Д I а (к) ) ( а (х) | сРа (х).

(2.1.18)

Ф ( Ы )

=

Ф.

( { ? , } ) = Тг (?Ф)

=

J

р [а

( X ) ] ( {а ( X ) } j

X

X

Ф ( Ы ) i {« (*)} > П d 2а м=I р іа (*)] П Е Х Р A Р» Г X

0 0

X (е'? ѵ

-

1)} П d'à. (

* )

=

J

-

J

Р і ! Л ({л J )

X

к

о

X ПехрК (е і 9 ѵ

- 1)) dn,4

=

Ф к д

({i (1 -

e*v ))),

(2.1.19)

V

где

I {а (х)}) == Y[ I а (х) );

п== | ßv |2 ; ßv

— величины,

связан-

и

ные с а(х) соотношением

(2.1.15);

р к л ({/гѵ }) — совместное

распределение вероятностей для /гѵ,

связанное

с р[а(х)]

обычным преобразованием

распределения

вероятностей.

В (2.1.19) приведена вся цепочка преобразований,

связанных

с нахождением

характеристической

функции

рассматриваемой

совокупности

функционалов Fj.

Оказалось,

что искомая

характеристическая

функция

просто связана

с характеристической

функцией

величин'

/гѵ,

получающейся

при классическом

рассмотрении

поля.

То,

что

Ф, ({?„]) зависит^только^от

е"? ѵ

,

означает,

что

при

квантовомеханическом

рассмотрении

лѵ

принимают

целочисленные

значения

(причем, согласно

(2.1.19), толь­

ко неотрицательные).

Возможные значения Fj

опреде­

ляются формулой

V

т. е. являются

линейными комбинациями

целых,

чисел.

этом е — 1 следует заменить на

и получится та­

можно найти, усредняя

пуассоновские

распределения

с помощью классических

распределений

для этой же

полуклассического

рассмотрения

оптических

приемни­

ков, в которых

используется фотоэффект (см. гл. 3).

Как следует

из

полученных

результатов,

определе­

ние характеристической функции совокупности {Fj}

ний

и

собственных

функций совокупности

ядер

{Uj(xi,

иг)}. Естественно поэтому перейти к рассмотре­

нию

частных случаев, для которых это удается

сделать.

При отсутствии последетекторного сглаживания, ког­

да ядра

Uj(üi, яг) вырождены (см. (2.1.4), (2.1.8)],

т. е.

Uj{94, *г) = £ / І ( Х І )

(2.1.20)

где

. (о

І М * ) = Р ( р ) 4 £ - /

- ^ j ^ ( r . " ) e ~ ' ~ p r d r ,

(2.1.21)

s

ственная функция

Uj (х)/]/у( ; і >, а [второму — все

функ­

ции, ортогональные

t7j(x) {это могут быть tVj(x)

с дру­

Тогда для /-го интегрального

оператора

отличным

от

пуля

будет

/-е собственное значение,

так

что

qj=r[jyp)

и Fj

будет отличаться от iij только масштабным

множи­

телем. Для itj

согласно

(2.1.15)

имеем

Щ =

I j

U*i (х) а (х) ак |а

/ J

I £//(«) l 2 du,

(2.1.23)

Для

больших

по

сравнению

с длинами

принимаемых

волн размеров апертуры и «медленных» весовых функ­

ций g.; (см. (2.1.10)]

2л

J" rfco j" g*j (г,

to) у

(г, ш) rfr

о

s

іц

=

(2.1.24)

- ^ - j " ftcorfcù j" I gj (г,

ш)|2

rfr

Фкл 0і) = -

exp

1 — й)/Ѵ

(2.1.25)

где N— среднее значение

п при наличии только

фона,

M — значение я при наличии

только сигнала. Для при»