Файл: Курикша, А. А. Квантовая оптика и оптическая локация (статистическая теория).pdf

М=уТ71[Ф-1(1

- ^ ) - г - Ф - 1 ( 1 -p)J.

(2.2.6)

Условия

применимости

этого приближения

выполняют­

ся, как

будет показано далее, в пассивной локации,

ла в активной

локации.

Если в (2.2.1) N^> 1,'то распределение можно рассмат­

ривать как квазинепрерывное, так как

\рп+і—рп\<£.1-

Вводя новую переменную

x = n/N и устремляя N к оо,

получаем

р(х) =

(х/(х) ( '" - 1 ) / 2 / т _ , (2Ѵ^)

е-А"->\

(2.2.7)

•где

\.i = M/,N.

Полученное

выражение

представляет со­

бой

плотность

вероятностей нецентрального

^ р а с п р е ­

деления [29]. При (.1 = 0 оно превращается

в

центральное

Х2 -распределение с 2 т степенями свободы

(или, как его

р{х)

=*m -1 e-*/(/n— 1)!,

(2.2.8)

интегральный

закон

распределения

которого

имеет вид

F = p(x^x0)=T(m,

Xo)/T(m),

(2.2.9)

и протабулирован (с пятью

знаками

после

нуля)

в [29].

При расчете вероятности ложной тревоги F<£.\ можно

воспользоваться формулой

F —

1 J _ V ('" — ') ••• ("I —v) _

х о

е

F -

1)1

+

^

)

(/и—1)!

•

(2.2.10)

F

т = 1

ш=2

»1=3

»1=4

»1=5

»1=6

»1=8

»1=10

»1=15

т = 1 5

10-я

4,6

6,7

8,4

10.0

11,5

13,0

16,0

18,8

25,4

23,9

ю-*

6,9

9,2

П,2

13,1

14,8

16,5

19.5

22,6

29,4

27,0

9,2

11,6

13,9

15.9

17,7

19,5

23,0

26,0

33,9

29,3

іо-=

11.5

14,0

16,5

18,5

20,3

22,1

25,5

29,0

37,0

31.8

ю-»

13,8

16,6

19,2

21,1

23,0

25,0

28,8

32,4

40,2

33,4

ю-»

18,4

21,5

24,0

26,3

28,7

31,8

34,6

38,5

-17,1

37,0

10-ю

23

26,6

29,0

31,7

33,9

36,2

40,4

44,3

53,8

40,3

При F ^ I O - 4 ошибка установления порога при

ис­

пользовании

гауссова

приближения

весьма

велика

(на

три порядка

при F=\0~8).

Заметим,

что для

правильно­

ячеек m, а не только суммарный уровень фонового

излу­

чения. Для

иллюстрации в табл. 2.3 приведены отноше­

ния порог/фон — Хо/т при разных m и F.

Т А Б Л И Ц А 2.3

Хв/іП

F

»1=1

ш=2

»1=3

»1=4

ш = 5

»і=б

»1=8

пі=10

т = 1 5

Ю - 3

6,9

4,6

3,7

3,3

3,0

2,75

2,4

2,2

2,0

ю - 6

13,8

8,3

6,4

5,3

4,6

4 . 2

3,6

3,2

2,6

цией его с помощью центрального

^-распределения,

предложенной

Э. Пирсоном {29]. Аргументы

х'о и т!

в аппроксимирующей формуле

типа

(2.2.9)

определя­

ются следующими

выражениями:

,

_

д +

2р.

/

Y

т

, _ о ( и

+ 2к-)-

л »

~

т +

Зр

\^ло~Г т + 3р

у

т

— ^ ( о т + 3 ( х ) 2 '

При | л » 1 + ( т — I ) 2 можно воспользоваться

асимптоти­

ческим выражением для функции Бесселя

в (2.2.7).

Тогда

?жФ(Ѵ2Г0-Ѵ2£).

(2.2.11)

применимости

(2.2.11)

при

расчете

порогового

ц. явля­

ется выполнение неравенства

Хо^>т2.

Из табл. 2.3 видно, что при F=lQre,

например,

фор­

мула (2.2.11)

справедлива

вплоть

до

т = 4н-5.

При

т > 1

Р~Ут[ф-1'(1

-

f

) - f ф - і ( 1

_ р ) ] .

(2.2.12)

(т

+ п — 1 \

/V"

/п о

i о\

Рп={

Z - 1

( 2 " 2 Л З )

Вероятность

превышения порога

(п^по)

для этого

рас­

пределения

(в данном случае эта вероятность есть

ве­

F = {m-i)W

+ N)m% <й

+ 1) -

('* +

m + 1) ( г т л г )

" =

п=п0

(от — 1)! (1 +N)m

dg™-'

1—1

= ( г ^ П

ш—1

( " , + Г ' ) ^

(2.2.14)

ѵ=0

Зависимость /го(Л''), рассчитанная по (2.2.14)

при

F =

= 10- 5 , приведена на рис. 2.2. Сравнение значений

tio/N

для Л^= 10 со значениями

лго из табл. 2.2 свидетельствует

о высокой

точности %2 -приближения. Уже при л 0 > 3

за­

висимость tio(N)

почти не отличается

от линейной. Срав­

нение значений

n^—mN

при N = 0,1

с данными

табл. 2.1

указывает

на удовлетворительное совпадение пуассонов-