Файл: Красовский, А. А. Фазовое пространство и статистическая теория динамических систем.pdf
ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 23.10.2024
Просмотров: 77
Скачиваний: 0
8 1.2] |
СВО БО Д Н О Е Д В И Ж Е Н И Е |
27 |
Это решение сохраняет силу общего равновесного распре деления для симметричных относительно оси х и точки со* = £2* начальных распределений.
2.Уравнения движения вокруг центра массы искус
ственного спутника (твердое тело с размерами, малыми в сравнении с расстоянием до центра гравитации) на кру говой орбите имеют вид [1.15]
+ (Л — Jy) ®,/02— 3«2(Jz— /„) у'у" = о, •
Jytoy + (Jx — Jz) |
— 3Q2 (Jx— |
Jz) |
yy" = o, |
(1.37) |
|
Jx^z Y {JV |
Jx) |
3Q2 (Jу |
Jx) yy = 0. |
|
|
Здесь Q = y |
^3-— угловая скорость орбитального движе |
||||
ния, р — гравитационная постоянная, |
R — расстояние |
||||
до центра гравитации, у, у', у" — направляющие косину сы между связанными осями (главными осями инерции) и осью орбитальной системы координат, направленной по радиусу-вектору орбиты, <ох, со„, о>2 — угловые ско
рости в связанной системе координат. Направляющие косинусы у, у', у" связаны с шестью другими направляю щими косинусами а, а', а", (5, Р', Р" между орбитальными и связанными осями и компонентами угловой скорости
кинематическими |
соотношениями |
Пуассона: |
|||
у = |
у'со2 — у"соу -f aQ, |
a = |
a'toz — a"cov — yQ, |
||
у' = |
у"сож— yco2 + |
a'Q, |
a' = |
a"co2 — aco2 — y'Q, |
|
y" = |
ycoy — у 'mx + |
a"Q, |
a" = awy — a'со* — y"Q, |
||
|
P |
= РЧ -Р'Ч , |
(1.38) |
||
P' = Р Ч — Pw2,
P"= P®y — РЧ-
Тривиальными первыми интегралами уравнений (1.38) являются шесть линейно независимых алгебраических со отношений между направляющими косинусами
а2 + |
р2 + |
У2 = 1, |
а а ' + рр' + |
уу ' = 0, |
|
|
а '2 + |
р'2 + |
у '2 = 1, |
а'а" + Р'Р" + |
у'у" - |
0, |
(1.39) |
а"2 + |
р"2 + |
у"2 => 1, |
аа" + рр" + |
уу" = |
0 |
|
28 |
У РА В Н Е Н И Е Ф О К К Е РА — П Л А Н К А — КОЛМ ОГОРОВА £ГЛ. t |
или эквивалентные им соотношения. Кроме того, система уравнений (1.37), (1.38) двенадцатого порядка имеет пер вый интеграл типа Якоби [1.15]:
Ф1 = -j t7*®! + J y(dl + |
+ Т Q2(/ *T2+ 7 Л '2+ |
ЛТ"2)— |
— Q ( / жШзсЗ + |
J у(ОуР' -ф- / гсо2Р") = сг. |
(1.40) |
Рассматриваемая система является консервативной, и для нее справедливо доказанное положение. Равновесный закон распределения можно строить как функцию всех семи первых интегралов, однако вводить тривиальные ин тегралы (1.39) нет смысла. Взамен этих соотношений луч ше выразить все направляющие косинусы через три не зависимые величины. Если в качестве этих величин при нять угол ср поворота вокруг оси х , угол О поворота вокруг оси у и угол ф поворота вокруг оси z связанной си
стемы координат, в результате которых (трех последова тельных поворотов) система связанных координат совме щается с орбитальной, то
a = |
cos Ф cos ф, a' = — cos ft sin ф, |
a" = sin 0, |
P = |
cos фsin ф -f sin фsin § cos ф, |
|
P' = |
cos фcos ф — sin фsin d sin ф, |
|
P" = |
— sin фcos ft, |
(1.41) |
Y = |
sin фsin ф — cos фsin Ф cos ф, |
|
Y' = |
sin фcos ф + cos фsin d sin ф, |
|
Y" = |
cos фcos 0. |
|
Равновесное распределение, соответствующее первому ин тегралу (1.40), имеет вид
р = ехр [¥ (фх)],
где Y — произвольная функция, при которой удовлетво ряется условие нормировки (1.11). Для малых углов
Ф, §, ф, |
Р'=1, Р" = —ф. |
V = —^ У' = ф» у" = 1» |
выражение равновесного распределения можно предста вить так:
р = exp (Т [Лю* /у ®2 -(-/ z® |+ 3Q2(/*02+ /уф2)—
— 2Q ( / жсохф + /„coy — / zoyp)]}. (1.42)
I 1.2] |
СВ О БО Д Н О Е Д В И Ж Е Н И Е |
29 |
Это стационарное равновесное распределение является частным, так как основано лишь на одном первом инте грале.
Поясним физическую причину существования равно весного распределения для рассматриваемого движения спутника, называемого либрационным. Члены в уравне
ниях (1.37), содержащие множитель Q2, соответствуют мо ментам, создаваемым неоднородным (центральным) грави тационным полем. Эти моменты стремятся ориентировать главные оси инерции по орбитальному трехграннику. Од нако в условиях отсутствия рассеяния энергии, которо му отвечают уравнения (1.37), затухания либрационных колебаний и вращений не происходит, вследствие чего и возможно равновесное распределение.
3. Движение многих тел с пренебрежимо малыми от носительными размерами (материальные точки) под дей ствием потенциальных сил взаимного притяжения или от талкивания в инерциальной декартовой системе координат описывается уравнениями
т&i + = 0, щщ -f- |
= 0, niiZi -f |
= 0 (1.43) |
(i = l , 2, . . . , i V > 2),
где U — потенциальная энергия, зависящая от относи
тельных расстояний между телами:
и = и l Y |
— |
X j f 4- (ух— у ■ ? + (Zi — Z j f ], |
(1.44) |
|
|
|
* , / = |
1 ,2, |
|
Для системы (1.43) |
известен интеграл энергии |
|
||
|
|
N |
|
|
% = |
4" |
2 |
+ 2/? + 2?) + u = Cl |
(1.45) |
i=i
и три первых интеграла количества движения:
N |
N |
N |
|
Ь = 2 mi£i = С2, Фз = 2 т№ = С3, ъ = 2 |
= С*‘ |
||
1=1 |
1=1 |
1=1 |
|
(1.46)
Система является консервативной, и согласно предыду щему для нее существует стационарное равновесное
30 У РА В Н Е Н И Е Ф О К К Е РА — П Л А Н К А — КОЛМ ОГОРОВА [ГЛ . I
распределение |
вероятностей |
|
||
р = exp [ ¥ ( t lt |
|
Фз, ФЛ = |
|
|
|
|
N |
|
|
= е |
х |
р |
Щ (^ + У^ + гЬ + и , |
|
|
1 |
L »=i |
п |
п |
|
|
N |
||
|
|
2 |
2 т гУЬ |
S «*&]}, С1-47) |
где ¥ — произвольная функция указанных четырех ар гументов, обеспечивающая условие нормировки (1 .1 1 ).
Система первых интегралов (1.45), (1.46) при записан ном условии N > 2 не является полной. Поэтому, хотя
формула (1.47) может выражать разнообразные равновес ные распределения, полученное решение является част ным. Это можно проиллюстрировать для случая £7 = 0, т. е. при отсутствии потенциальных сил. В этом случае скорости движения тел вообще постоянны и любое распре деление скоростей является стационарным равновесным. Между тем формула (1.47) для данного случая принимает форму
N
р — exp jV |
[ 2 |
тг(7i + 2/1 + zf), |
1 |
Li=i |
N |
N |
N |
в которой нельзя выразить любое стационарное распреде ление.
Частным видом равновесного распределения (1.47) яв ляется распределение, при котором плотность вероят ности является функцией только энергии системы:
N |
|
|
Р = ехр{ф ’ [ 4 " 2 |
+ 2/1 + 21) + ^]}- |
(1-48) |
1 L 1=1 |
JJ |
|
Для того чтобы р удовлетворяла условию нормировки,
функция ¥ должна быть убывающей функцией энергии. Отсюда следует, что если потенциальная энергия U име
ет минимум при определенном относительном расположе нии материальных точек, как, например, имеет место для