Файл: Красовский, А. А. Фазовое пространство и статистическая теория динамических систем.pdf

Скачать файл (6,69Мб)

Заказать решение

ВУЗ: Не указан

Категория: Не указан

Дисциплина: Не указана

Добавлен: 23.10.2024

Просмотров: 85

Скачиваний: 0

ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.

184	РА В Н О В ЕС Н Ы Е РА С П Р Е Д Е Л Е Н И Я В СИСТЕМАХ [ГЛ . IV

где «5,	а	а?}к,		<&«, «W. • •		•	~ заданные	коэффи
циенты	а	также представлением					неизвестных	функций
в виде 'ряда, который с					учетом	(4.66) записывается в
форме
п			п			п
Аф = 2	а Ь Х]ф +		2	а Ш Х )Фх Кф +		2	а ^к1Х ]фх К<ЬХ 1Ф + •••
3=1			з, *=1		з, к, 1=1
п			п			п
— 2 а ь^х }ф —			2 а$ к х №х К'ф —			2	а Ш1х ]фх кфх 1ф • • •
j= l			з,к=1		j,k ,l= 1
П				W
. . . — 2		(xjn Ч~ Х)ш) — 2			®i'3'k(х]'пЧ" х}ш) (хкп Ч" х кт)
3=1	п			3. *=1
	п
—	2	aij&!(*Уп Ч- ^з'ш)(#кп Ч" Я/сш)(#jn + ^1ш)
3, »,;=i			п
			п
		— 2 2		« А ф (^кп Ч~ х кш)

з, k=i

—2 0,’з*! ^зФ (*кп Ч" ^-кш) (ХШ Ч" х 1ш)

з, к, (=1

— 2 аУк*д«зфХкф(х,п+х 1 т ) —... (4.69)

з, к, 1=1

Все коэффициенты здесь считаются постоянными, т. е. рас сматривается стационарный контролируемый процесс, ста ционарные шумы. Подставляя выражения (4.65)—(4.67) в. (4.64), собирая и приравнивая нулю коэффициенты при одинаковых произведениях независимых аргументов, на ходим

2 \аЪ(Арк +	А% Ч- АЩ) Ч-
Р =1			(4.70)
Ч~	арк (A p j ч -	-Чрз Ч* A p t )] Ч"	(4.70)
Ч- 2 [®Р? (-^Р* —		+ flpk (^РЗ — ^ p f ) l	Ч-

Р =1

§ 4,2] Ф П К -У П РА ВЛ ЕН И Е И СИ Н ТЕЗ СИСТЕМ У П РА В Л Е Н И Я 185

-Ь 2 Spq (А% + Api — Apt) (^зк+ Aqk Ачк)

Р, 3=1

2 2	^ Р ( И 5 Л^0»Л + 6 2 a ppik —
Р, 3=1	Р=1

- 2 2 « № = 0,

p = i

2flpj (Арк — Арк) +

Р=1

		+ 2		(<* - « # ) и #	+	А% -	А^) +
		Р=1
+		2	^ ря (-^pi + ^ p i — ^ pj ) (^ в к					А як)	+
		Р.3=1			п
					п
				+	2	s ;	w	= o	,	(4.70)
					Р,в=1
2 [«р; ( ^ р “ - ^ Л) + < * И ™ - ^ р;А)] -
Р=»1			п
			п
		— 2		[аР?-^Р А 4" аР? (^pf — -4р;')] +
		Р=1
+ 4" 2 ^РЗ (Ali + Ki -					Alt) (ASF- AX) -
		P ,3 = l
-	2	П				П		= 0,
-	2	2	S p * (Apk+ ^?) < iA- 2 2					= 0,
		P ,3 = l				P=1
2	(	^	+ a?kA™) — 2		apfAikA +
P=1				p = i
	+ 4 - 2			sSq(AiF - AX )(AlT -				A X ) -

P, 3=1

186 РА В Н О В ЕС Н Ы Е Р А С П Р Е Д Е Л Е Н И Я В СИСТЕМ АХ [ГЛ . IV

• 2 <А р * + А + А ™ ) -

р,ф=1

(4.70)

— 2 2 appjj? = о,

р = 1

Эти соотношения можно рассматривать и как условия су ществования нормального равновесного распределения в рассматриваемой системе, и как уравнения для опреде

ления коэффициентов а^У*1, а!У\ а“Д ащД . . . системы оценивания, обеспечивающей заданное (в пределах воз можного) нормальное равновесное распределение ошибок оценивания и других параметров.

г л а в а v

ОСНОВЫ ТЕОРИИ ТЕПЛОВЫХ ФЛУКТУАЦИОННЫХ

КОЛЕБАНИЙ. МИКРОУПРАВЛЕНИЕ

Статистическая природа процессов микромира опреде ляет предельную потенциально достижимую точность управления. Это отчетливо проявляется как при попытках управления отдельно взятой микроскопической частицей, даже состоящей из множества атомов, так и при управле нии макрообъектами с предельно высокой точностью. Во просы, относящиеся к этой области, нередко лежат на границе статистической физики и теории управления и

вряде направлений еще слабо разработаны. Как уже от мечалось, истоки ФПК-уравнения связаны с теорией броуновского движения — раздела статистической физи ки. Естественно ожидать, что методы решения ФПК-урав нения могут быть применены к исследованию предельной

вуказанном смысле точности управления. Однако это далеко не исчерпывает потребности теоретического рас

смотрения данной области, особенно в части управления с квантовым взаимодействием контролирующей системы и объекта.

Изложение в данной главе начинается с наиболее хорошо разработанной теории тепловых флуктуационных шумов в пассивных линейных системах.

§ 5.1. Флуктуационные тепловые колебания в линейных пассивных системах

Уравнения линейной пассивной системы, находящей ся под воздействием собственных тепловых шумов, могут быть записаны в форме уравнений Лагранжа второго рода:

(5.1)

где qt, 4i — обобщенные координаты и обобщенные

188 Т ЕП Л О В Ы Е Ф Л У К Т У А Ц И О Н Н Ы Е К О Л Е БА Н И Я [ГЛ . V

скорости,

п	п
	п
— функция Лагранжа, Fi =	2 rik(n — диссипативные и
	к=1

другие силы, линейно зависящие от обобщенных скоростей, ф( = фг (t) — центрированные случайные функции вре

мени, соответствующие собственным тепловым шумам.

Матрицы			коэффициентов т — \| mih \|\|, с = \|\| сщ \|\| симме
тричны,		матрица			г = \| rih \|	может быть несимметричной
(гт ф г).
Подставляя в (5.1) выражения для L , фг и используя
матричную			форму		уравнений, записываем
					mq + rq +		cq = ф,		(5.2)
где	q, ф — матрицы-столбцы.						Симметричную		матрицу
г = гт имеют,				в	частности,		пассивные	электрические
цепи,	в	которых			m<h — индуктивности			и взаимоиндук-
тивности,			/•;ft	— активные		(омические)		сопротивления,
cjft — емкости.						с	симметричной		матрицей
Для		пассивной системы

при условии теплового равновесия, когда все элементы системы имеют одинаковую абсолютную температуру Т,

на основе формулы Найквиста [5.1], [5.2] можно записать следующее выражение для матрицы спектральных плот ностей тепловых шумов:

= I ST* I = 2kTr,

(5.3)

где к — постоянная Больцмана. В этой формуле не уч

тен так называемый квантовый множитель Планка [5.2], [5.4]. Однако изменение спектральной плотности, вызы ваемое этим множителем, наступает обычно лишь в обла сти частот инфракрасного излучения.

Таким образом, тепловые шумы в подавляющем боль шинстве случаев с полным основанием можно считать бе лыми шумами, что отражает формула (5.3) и последующие формулы.

Примером пассивных систем с несимметричной матри цей могут служить механические системы с гироскопиче-

§ 5.1]	Ф Л У К Т У А Ц Й О Н Н Ы Е Т Е П Л О В Ы Е К О Л Е Б А Н И Я	189
		189

сними силами, электромеханические системы и др. Для таких систем в состоянии теплового равновесия [5.5], [5.7]

S<f = кТ (г -j- гт).

(5.4)

Опираясь на эти положения при рассмотрении более об щего случая неравновесного состояния пассивной неста ционарной системы (элементы системы имеют разные зна чения температуры), полагаем

S?, = k ( T thrik +	T hirki).	(5.5)
При тепловом равновесии, когда	T ih = Т ы = Т ,	выра

жение (5.5) в матричной форме обращается в (5.4) и (при г — гт) в (5.3). Для системы с автономными степенями

свободы, для которой rih = 0 при к Ф i, формула								(5.5)
обращается в формулу		Найквиста			S ti — 2кТн гп .			(5.2)
Считая матрицу m неособой, запишем уравнение
в форме Коши, введя обозначения блочных матриц
mq II	t		I K		II	гтГ1	с
X =					и	............. ,		(5-6)
	^ — \|о ’ й =
?Г					I-	т - 1	0
Получаем	t + ах = £.							(5.7)

Блочная матрица спектральных				плотностей £ равна
С		о	S,	=	К	\| ,		(5.8)
	о	о
й —