Файл: Красовский, А. А. Фазовое пространство и статистическая теория динамических систем.pdf

Скачать файл
Заказать решение

ВУЗ: Не указан

Категория: Не указан

Дисциплина: Не указана

Добавлен: 23.10.2024

Просмотров: 82

Скачиваний: 0

ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.

t 5.1]

Ф Л У К Т У А Н И О Н Н Ы Е Т Е П Л О В Ы Е К О Л Е Б А Н И Я

195

преобразования s, представлены в виде

 

 

 

 

 

bf +

bft + .- . + bn*71-1

W h (s) = ^ wu it) exp (— st) dt =

oo +

ais +

. .. +

»

 

 

 

 

&ns

 

Wu (t) Wfr (t) dt =

n

2

,

AeB?w,

(5.28)

 

 

 

_

 

 

 

 

00

— 02

04 •

•

•

 

 

 

 

0

01

-*• Оз •

•

•

 

 

 

 

0

*— Оо

02 •

•

•

 

 

 

 

 

•

• .

* .

 

 

 

 

 

*

• •

* ап-\

 

 

Дq — алгебраическое

дополнение

элемента

n-й

строки,

<7~го столбца определителя Д;

 

 

 

 

 

 

Blw = b?b¥, В ^ } = K b f -

Ь?ЪУ - bfb

 

 

В?* = ь № -

Ъ?Ъ? -

 

+

b5%w' +

Ь ^ ,

в Т 1= №

Обычно основной интерес представляют дисперсии обоб­ щенных координат и скоростей

М [Qi] — к

(T ’V[o.rvjji -f- Т |л^Гр.7) j" u>;v (t)iDiy.(t)dt,

 

v.H=1

о

(5.29)

n

oo

 

M [0i] = к 2

(Tv|j,r4\i -f- Tpvr\iv) J iou (t) Wip (<) dt.

 

v,H-=l

 

 

Формулы (5.29), даже без использования выражений для интегральных квадратичных оценок (5.28), позволяют сделать следующий общий вывод. Допустим, что темпера­ туры различных элементов системы находятся в границах

^raln

Tib <С ^maxi

i, к = 1 , 2 , . . . , Т1‘,

тогда уровень тепловых шумов в любой точке данной не равновесной системы больше уровня шумов равновесной системы с температурой Гт щ и меньше уровня шумов равновесной системы с температурой Гщах.

196

Т Е П Л О В Ы Е Ф Л У К Т У А Ц И О Н Н Ы Е КОЛЕБАН ИЯ

[ГЛ. V

Для доказательства обратим внимание на то, что в пас­ сивных системах интегралы

оо

оо

 

j u>iv (t) wiV. (t) dt, Jiolv(t) wiXx(t) dt

(5.30)

о

о

 

всегда положительны.

Действительно, всегда

можно за­

дать такую воображаемую систему, в которой все вели­

чины

TVvjx 4- Tav^v,

кроме

одной,

равны нулю

или

за счет равенства нулю активных

сопротивлений

rvlj.,

или за

счет равенства

нулю

абсолютных температур

 

(третье начало термодинамики в подобном воображаемом эксперименте можно во внимание не принимать).

Для подобной

системы согласно

(5.29)

 

к(71v^rvji

во

 

М [<??] =

T^Av^V'') J

(t) Wty. (0

 

 

 

О

 

 

 

 

оо

 

М [g?] =

/с

 

+ T ^ r^ ) j

wu (t) wiv.(() dt.

 

 

 

0

 

Величины M [gf],

М [gf],

 

по своей природе

и условиям положительны, поэтому положительны и ин­ тегралы (5.30).

Таким образом, дисперсии (5.29) в любой точке нерав­ новесной системы представляют собой в отношении тем­ ператур элементов 7\ц линейные формы с положитель­ ными коэффициентами. Такая форма принимает наимень­ шее значение на нижней границе аргументов (темпера­ тур) и наибольшее значение на верхней границе аргумен­ тов. Положение доказано.

Для равновесных систем справедливы весьма простые формулы (5.13), (5.14) вторых моментов флуктуационных колебаний. Эти формулы в сочетании с доказанным поло­ жением позволяют для неравновесной системы занисать следующие неравенства:

кТпн,, < М [gf,] < кТшах

(5.31)

max

6 5.1]

Ф Л У К Т У А Ц И О Н Н Ы Е Т Е П Л О В Ы Е К О Л Е БА Н И Я

197

где

| т | — определитель матрицы пг, ?nli — алгебраи­

ческое дополнение диагонального элемента тц этого

определителя, | с | — определитель матрицы с, с*1— алге­ браическое дополнение диагонального элемента Сц этого

определителя.

Перейдем к рассмотрению конкретных примеров. Тепловые шумы в много­

обмоточном

трансформаторе.

Rr rn

т г22

Несколько

обмоток с коэф­

 

 

фициентами

индуктивности

 

 

L ti (г = 1 , 2 , . . . , п) и взаи-

моиндуктивности Мтис (U

=1, 2, . . ., п) подсоединены

кактивным сопротивлениям

B t (г = 1 , 2 , . . ., п) с темпе-

ратурамиГ|= const (рис. 5.1),

находящимися в пределах

T’mln < T i

T m a x •

Ферромагнитный сердечник отсутствует, так что источ­ никами шумов служат толь­ ко активные сопротивления.

I

-______ I

1 J

G

^ П - / ~ ГП - 1 . п - I

Я 'п ~ гпп

Рис. 5.1.

Уравнения цепей обмоток

+ Rii +

Мгц - ^ п

+

Мтц,

+

• • • +

М тт -£■ = ф ;,

 

 

 

i — 1, 2, . . ., л,

 

 

можно записать

в виде (5.2):

 

 

 

где

 

 

тд +

 

rq = <р,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

L Tl

 

л / Т12 .

. .

 

 

h

т =

м тг1

L T‘Z2

*

'

"

М Тчп

. Я =

h

•

 

М Тп\

М Тп2 • •

•

L Тп

 

in U

 

Я I

0

. . .

0

 

 

 

 

г =

О /?а

. . .

б

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

о

о

. . . д_

 

 

 

 

198

Т Е П Л О В Ы Е Ф Л У К Т У А Ц И О Н Н Ы Е КОЛЕБА Н И Я

[ГЛ. V

В отношении токов (матрица q) данная система устойчи­

ва, и в ней устанавливается равновесное (в смысле шумов) состояние. Согласно (5.29) для этого состояния

(5.32)

а матрица w (t) — || юц (t) || удовлетворяет уравнению

miv + rw = 0, w (0) = тг1.

Дисперсии токов согласно (5.31) находятся в пределах

кТш1п^ < М [ijj < kTmaх^ ,

(5.33)

 

L T l

М

т п

 

 

т п | =

 

L

T 2 2

.

.

.

^ T ln

•

•

•

М Г2П

 

 

М Т п 1 М т п 2 • • • L T n

 

 

— алгебраические

дополнения

диагональных членов

этого

определителя.

 

 

 

 

 

Для системы с одинаковыми температурами сопротив­

лений

 

 

 

„н

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

М [ф = кТ I m |

 

 

В частности, при п =

3

выражения в развернутой форме

имеют

вид

 

 

 

 

 

 

 

М [ф

кТ___________ 1

~ ^гз_________

 

 

 

1 +

2(112(113(123 -

( ф - й-13 -

(1^3

’

 

 

 

 

М [ф

кТ___________ 1

—И^хз________

 

 

L T%

1 +

2(112(113(123 -

( Ф - ( ф -

( ф

’

 

 

 

М [ф

кТ___________ 1

— t*fa________

 

 

L T3

1 +

2(112(113(123 —

( l * 2 — (1*3 —

(Аая

 

где

 

 

м Т12

 

 

М Т13

 

 

 

 

 

 

 

 

М Т23

Pl2 — V

^13 — У L TlL T3

У LT%LTa

 

 

 

 

 

Н-23 ;

 

 

— коэффициенты связи.

§ 5.1] Ф Л У К Т У А Н И О Н Н Ы Е Т Е П Л О В Ы Е К О Л Е Б А Н И Я 199

При наличии лишь двух

обмоток

 

 

 

Р13 — О, P '2 3 — О ,

 

 

кТ

i

 

кТ

i

М[«!] = иТ1

1-иЬ

МГ£1] =

L T2

i - p i . ’

При стремлении коэффициента связи в последних форму­ лах к единице, что соответствует исчезновению потоков рассеяния, дисперсии шумовых токов неограниченно воз­ растают. Так и должно быть, ибо при отсутствии потоков рассеяния эквивалентная схема двух связанных обмоток вырождается в цепь с чисто активными сопротивлениями, дисперсии шумовых токов в которой по формуле Найкви­ ста (без квантового множителя) бесконечно велики.

Рассмотрим теплообмен за счет тепловых шумов. Допустим, что обмотки и сопротивления имеют абсолют­ ную тепловую изоляцию, так что обмен тепловой энергией может происходить только за счет шумовых токов. Оче­ видно, что формулами (5.29), а значит, и (5.32) можно пользоваться не только при постоянных температурах сопротивлений, но и при медленно (в сравнении с элек­ трическими переходными процессами) изменяющихся тем­ пературах.

Энергия, выделяемая в единицу времени в сопротив­ лении R t за счет шумовых токов, создаваемых всеми дру­

гими сопротивлениями, согласно (5.32) равна

2/сД4 [ S

З Д J wfj (0 dt -

TiR, j ivl (0 dt] .

3 = 1

о

о

Энергия в единицу времени, расходуемая сопротивлением на создание шумовых токов в остальных элементах схе­ мы, равна

П ОО

00

2kRiTl [ 2 R\ j w)i (t) dt — R i j w\ (t) d t\ .

3=1

о

0

Разность этих энергий равна произведению теплоем­ кости ci i-ro сопротивления (точнее, г-й теплоизолирован­ ной цепи) на производную температуры T ti

ПСО

CiTi = 2kRt [ 2 (Tj -

ТО Rj j К

(t) dt] .

(5.34)

i=i

о

J

 

Смотрите также файлы