Файл: Красовский, А. А. Фазовое пространство и статистическая теория динамических систем.pdf

Составляющая

раскрывается после решения задачи об определении лога­ рифмической плотности вероятности в фазовом простран­ стве неуправляемого объекта. Однако сумма

Л

заведомо является неотрицательной функцией фазовых

невозмущенным состоянием чаще всего также неотрица­

является заданной функцией времени и наличие соответ­

5 4.2] Ф П К -У РА В Н Е Н И Е И С И Н ТЕ З СИСТЕМ У П РА В Л Е Н И Я 175

ствующего члена в минимизируемом функционале никакой роли не играет, так что этот функционал также сводится

к(4.49).

Вработах [4.7]—[4.9] практическая процедура анали­ тического конструирования рассматривается как итера­ ционная. При таком подходе сначала на основе техниче­ ских соображений ориентировочно задается назначаемая часть функционала и определяются оптимальные для дан­

ного функционала управления. Далее тем или иным путем, но обычно посредством интегрирования уравнений зам­ кнутой системы на ЭВМ определяются процессы в синте­ зированной системе. Если эти процессы оказываются в каком-либо отношении неудовлетворительными, произ­ водится более или менее целеустремленная трансформа­ ция назначаемой части функционала и вновь осуществля­ ется синтез. Процедура повторяется до получения прием­ лемых результатов. При такой трактовке задачи аналити­ ческого конструирования синтез на основе минимизации функционала (4.47) оказывается целесообразным.

Для получения оптимальных управлений в явной фор­ ме необходимо решить уравнение (4.45) при граничном условии (4.46). Если неуправляемый объект (ut = 0) от­

носится к классу систем без прямых нелинейных связей и известна полная система первых интегралов для этого объекта, то согласно (1.25) общее решение уравнения (4.45) имеет вид

U п

lnp = Y (фх, • • •, Ф„) — f 2

( i=i i

где произвольная функция определяется из условия

Таким образом, в данном случае оптимальные управления равны

Если для объекта того же класса известно р <^п линейно

независимых первых интегралов, но условие

ляется редким исключением. В общем случае, когда эти интегралы неизвестны, для отыскания решения уравне­ ния (4.45) можно использовать изложенный выше метод рядов. Уравнения для коэффициентов логарифмической плотности вероятности и выражения этих коэффициентов

По условию функция V3 должна быть положительно опре­

деленной, поэтому в разложении присутствуют лишь члены четных степеней. Коэффициенты pih, рШ т, . . ., симмет­

ричные относительно всех индексов, считаются задан­ ными величинами. Тогда, в соответствии с (2.8), (2.19), (4.46), коэффициенты ряда логарифмической плотности вероятности получаются как решение бесконечной систе­ мы линейных уравнений (2.19) при граничных условиях следующего вида:

(4.55)

Интегрирование уравнений при подобных граничных усло­ виях удобно производить в обратном времени т = —t. При этом момент t2 считается за начальный. Для устой­

чивых по линейному приближению объектов это выгодно с точки зрения сходимости метода. Соответствующие со­ ображения приведены в главе II.

Для выражения коэффициентов оптимальных управ­ лений через квадратуры весовых функций линейного приближения можно использовать выражения (2.23), за­ менив в них момент времени 0 на t2 и начальные значения