Файл: Красовский, А. А. Фазовое пространство и статистическая теория динамических систем.pdf

204 Т Е П Л О В Ы Е Ф Л У К Т У А Ц И О Н Н Ы Е К О Л Е БА Н И Я [ГЛ. V

Для случая термодинамического равновесия матрица моментов шумовых токов в пассивной цепи с неособой ма­

Р и с . 5 . 2 .

(цепь, содержащую усилители), которая при той же тем­ пературе пассивных элементов и прежних динамических свойствах, т. е. прежних уравнениях свободного дви­ жения

mq + Щ + cq = 0,

обладала бы меньшими уровнями шумов, чем пассивная цепь. То, что при идеальных усилителях с нулевыми шу­ мовыми температурами это сделать можно, следует из таких рассуждений. Уменьшим все активные сопротивле­ ния в 1 раз, но подключим идеальные усилители так, чтобы они усиливали в d — 1 раз составляющие контур­

ных напряжений

П

*=1 fc=l

Векторный сигнал на выходах подобных усилителей будет равен

d — 1

u = — S- r q .

Компоненты векторного сигпала-напряжения и с выходов

усилителей подаются в виде дополнительных контурных

э. д. с. в рассматриваемую цепь, образуя отрица­ тельные обратные связи. Уравнение замкнутой системы с подобными идеальными усилителями принимает вид

Так как усилители считаются идеальными, то шумы ф*

В динамическом отношении исходная и полученная систе­ мы идентичны, и дисперсии всех флуктуационных тепло­ вых колебаний в полученной системе в d раз ниже, чем

в исходной.

Однако всякий реальный усилитель имеет шумовую температуру, отличную от нуля, и конечное входное со­ противление. Допустим, что имеются реальные (в смысле наличия шумов) безынерционные усилители с одинаковой шумовой температурой Ту (по отношению к выходным сиг­

налам). Посредством таких усилителей измеряются кон­ турные напряжения (5.39). Полагаем, что это измерение

1

включает измерение каждой из составляющих -j-rihih

или - j r ik(it + ik) усилителем с согласованным входом,

т. е. усилителем, входное сопротивление которого равно

1

— гг ь. Входные пассивные цепи усилителей имеют темпе­

ратуру, равную температуре контролируемой цепи. По­ этому уравнение контролируемой цепи после уменьшения всех активных сопротивлений в d раз и подключения со­

гласованных входов усилителей будет иметь вид

кТ

равна — г. Коэффициенты усиления всех усилителей из

условия сохранения динамических свойств зададим рав­ ными 2d — 1. Вектор выходных сигналов системы усили­

206 Т Е П Л О В Ы Е Ф Л У К Т У А Ц И О Н Н Ы Е К О ЛЕ БА Н И Я [ГЛ. V

телей образуется как вектор усиленных контурных на­ пряжений и равен

где фу — вектор шумов усилителей, спектральная матри­ ца которого по условию равна

Шумы ф* и (2d — 1) фу независимы, и матрица спектраль­

ных плотностей их суммы равна сумме матриц спектраль­ ных плотностей и (2d — 1)25 фу.

Итак, построение активной системы с динамическими свойствами, эквивалентными исходной системе, приводит к уравнению

где матрица спектральных плотностей фш равна

i - + ( 2 d - l ) 2-? x ]r .

Эквивалентная шумовая температура в активной системе равна

Соответствующие графики в логарифмическом масштабе приведены на рис. 5.3.

эквивалентная шумовая температура в активной системе выше 0,83Г.

Условие (5.45) надо считать заведомо выполненным, так как мы приняли, что входные цепи усилителей имеют температуру Т. Активную систему с обратными связями

можно рассматривать как систему управления (стабили­ зации).

где qt — «электрические» координаты — количества элек­ тричества, ql — электрические токи, т" — массы,

й — коэффициенты жесткости. Уравнения Лагранжа

где ut — э.д.с. питания индуктивно-емкостных датчи­

ков, ер® — тепловые шумы. За невозмущенное движение примем движение без шумов (шумы источника питания включены в и?), удовлетворяющее уравнениям

П

Ввиду того, что тепловые флуктуационные колебания весь­ ма малы, линеаризуем исходные уравнения относительно