Файл: Красовский, А. А. Фазовое пространство и статистическая теория динамических систем.pdf

Уравнения (5.34) показывают, что чем выше активные сопротивления, тем интенсивнее теплообмен за счет шу­ мовых токов.

Тепловые флуктуационные колебания гальванометра. Рассмотрим тепловые колебания гальванометра со струн­ ным подвесом при условии, что цепь гальванометра зам­ кнута на активное сопротивление. Уравнения этой элек­ тромеханической системы имеют вид

упругости подвеса, т22 — Lr — индуктивность цепи галь­ ванометра, г22 — Нг — активное сопротивление этой цепи,

.Таким образом, система является перавновесной в термо­ динамическом отношении и для определения установив­ шихся дисперсий следует пользоваться формулами (5.29), которые в данном случае принимают вид

М [aJJ = М [q\] =

00

= 2А: Tjrn j"u>ndt -f-(Т12г124*

§ 5.1] Ф Л У К Т У А Ц И О Н Н Ы Е Т Е П Л О В Ы Е К О Л Е Б А Н И Я 201

М [i2] = M[g2] =

-Ь Т21^21) j* io2-^v22dt -)- Т2г2г j' м>22<Й^ 1

Здесь Г12, Т21 — шумовые температуры, соответствующие

коэффициентам г12, г21. Эти коэффициенты соответствуют закону электромагнитной индукции, и следует принять Т12 = Г21. Формулы (5.35) упрощаются:

Вычисление интегральных квадратичных оценок по фор­ муле (5.28) и подстановка исходных обозначений параме­ тров дает следующие выражения:

Для случая одинаковых температур Тг = Т2 = Т вы­

ражения резко упрощаются в соответствии с изложенной теорией:

Броуновское движение заряженной частицы в магнит­ ном поле. Рассмотрим броуновское движение сферической заряженной частицы в жидкости или газе при наличии однородного магнитного поля. Обозначая прямоугольные координаты частицы qu q2, q3 и считая, что вектор на­ пряженности магнитного поля направлен вдоль оси q3,

8 А. А. Красовский

тропики, миниатюризации и приближением в ряде задач современной науки и техники к предельно достижимой точности, микроуправление становится актуальным для многих областей возможного применения.

По самому определению для микроуправления опреде­ ляющими являются случайные возмущающие воздействия, связанные с хаотическим движением микрочастиц. Поэто­ му теория микроуправления может быть только статисти­ ческой. Ввиду того, что в задачах микроуправления фигу­ рируют объекты «надмолекулярного уровня», состоящие из множества атомов или молекул и совершающие движе­ ния, частотный спектр которых обычно даже не достигает инфракрасного диапазона волн, описание объектов микро­ управления часто можно осуществлять в рамках классиче­ ской физики. Однако контроль координат, измерение в ряде случаев выгодно осуществлять с помощью излу­ чения, корпускулярная, квантовая природа которого оказывает доминирующее влияние. В этих случаях клас­ сический аппарат является недостаточным. Здесь мы огра­ ничимся задачами микроуправления, в которых дискрет­ ность, связанная с квантовой природой взаимодействия, или отсутствует, или настолько мала, что подходящим аппаратом описания являются дифференциальные урав­ нения и уравнение Фоккера — Планка — Колмогорова.

Хорошо известно, что возможности управления на микроуровне ограничены. Классическим примером, ил­ люстрирующим эту ограниченность, является воображае­ мый эксперимент с «демоном» Максвелла [5.9]. Поэтому первым вопросом, который целесообразно здесь рассмо­ треть, являются предельные возможности управления. Проиллюстрируем постановку и решение этого вопроса на конкретных, но довольно общих примерах.

Стабилизация электрической цепи. Пусть имеется

(взаимоиндуктивностей), г — матрица активных сопротив­

лений, с — матрица емкостей,, ср — матрица-столбец кон­ турных э.д.с. тепловых шумов.

8*