Файл: Шилькрут, Д. И. Вопросы качественной теории нелинейных оболочек.pdf

Приращения кривизн вследствие деформаций соответственно

мери­

дианам и широтным кругам,

z -

координата

по толщине оболочки,

отсчитываемая

от

срединной поверхности. Относительные

удли­

нения

и

£fu

вдоль меридиана и широтного круга

на

по­

верхности, отстоящей на расстояние

z

от

срединной

поверх­

ности „ представляются в виде

.?

£г/у(р)+^

(р) у

( 1 * 8)

где

£г

и Еу

- удлинения

на

поверхности

z= 0 .

По

закону

Гука для плоского

напряженного состояния

имеем:

(р)1

Ь у (р )= ^ (*г -р*>') = -!р [си1(/}) ~ Р ^ ^ ]

■

(1 ,9 )

Изгибающие моменты:

М д (/>) =

М? ! { )0

т =

а

(р)

■

( I ’ I0 )

Поперечная сила1:

Q (р) =

= -^ Р [е (р )+ в 0(f)]

J p л (р) dp +

О

+

а -1Г>

Горизонтальные

(перпендикулярные к

оси

вращения

оболочки)

и

вертикальные перемещения и

и

w

точек

срединной

поверх­

ности:

=

;

( Ь Ы '

*

Р

™ (p)^'tLjp~ =—J e(p)dp+ w(o) ■

с ,

is )

Вели

w ( I ) = 0

,

то

а

W {o)=\e(p)tip

И

w(f>) = J Q(p) dp .

( I . 14)

Прогиб в

центре

w

о

будем

P

t,

(0 )

обозначать через

Перемещение

и

считается

положительным,

если

оно на­

правлено

вправо, a

w

>

О

,

если

оно направлено

вниз.

Функ­

ция

w0 (j>) = J Q(t(p)dj3

-

уравнение

недеформированного мершцв-

ана,

a

■Р.

1

- стрела начального

w jo)^

—J д0 (р) d p

подьмё

оболочки.

w <

о

в точках,

где оболочка находится над

своим

планом.

деформированного меридиана тогда

запишетсяг

Уравнение

г

У (р) =

)+v%fo(pJ = J [ e ( f )+%(/>)]d f .

CI.I5)

Г

В случае

пластины

v/e (p)

s

% (р ) — 0 . Полная

энергия

Э оп­

ределяется равенством

'

Э

о

аде.)

Лт*

где UP

и

Uu

- энергии деформаций срединной

поверхности и

изгиба ;

V -

потенциал внешней нагрузки»

1

UC= $ 'J [б* +6у -2р.

;

(1.Г7)

о

1

ии= ~m~J[*£ +*1+2(1 хг хг]/>Ур

;

(1 Д 8 )

/

V - 2 r [ f y w p d fijL Mn0 ) 6 ( t ) +

О

+ j~- NrOluflj + PwM+tycwtc)] .

(1.19)

того, рассматривается ли линейная или нелинейная пластины, либо

нелинейные или линейные пологие оболочки.

Наличие в уравнениях ( I . I )

и (1 .2 ) линейного

оператора

L ( ) ( с м ,( 1 . 4 ) ) , (входящего

в

уравнение С.Жермен

указанного

выше типа, и в

уравнение для функции напряжений в

случае

осе­

симметричной плоской задачи теории упругости) есть

следствие

частичной линеаризации

(1* 1)

и (1. 2),

связанной с понятием

по­

логости,когда

з(п0 « 8

и cos

в s: 1 .

Метрика

поверхности

принимается близкой к метрике на плоскости, Необходимо

подчерк­

нуть,

что

при выводе указанных уравнений

принимается

допущение

о

пологости как

начальной, так

и деформированных

форм

обо­

лочки.

9(р)

из(р).

Запишем краевые-условия для

и

Их

должно

быть четыре, так как система ( I . I ) и ( 1. 2) имеет

четвертый по­

рядок. Ввиду осесимметричности задачи при р -- о

имеют

место

условия

Q(q)=0 ;

(J(o) = О .

( 1 . 2 0 )

Соотношение

(1 .2 0 )

означает также,

в

частности,

что

напряжения

и

afy,

должны быть

конечными при

р = 0

(даже

когда

Р *

0

).

Два других граничных условия при

/>=1

записываются,

исходя

из

условия закрепления края оболочки. Степень подвижности

края

в

плоскости

плана

оболочки

обуславливает

г;. -.шинные

условия

для

функции ю ,

а

условия,

накладываемые

на

Q

,

определяют

ог­

раничения

в

отношении

поворотов

нормалей к краевому .

контуру

срединной поверхности. В подавляющем большинстве

случаев

гра­

ничные условия для

0

и

w

независимы

друг

от

друга

и

могут

быть представлены в

виде

линейных комбинаций:

Ы1в'(1)+о/г в(1)

= &3

;

А *>'(1)

- А

,

(T .2 I)

где все числа из каждой тройки

сх(

или

p L

не

могут

одно­

временно

равняться

нулю.

При

Ы1= Ы3 =0 и

<*(

= /

имеем

слу­

чай жесткого защемления. Когда край

оболочки

шарнирно

оперт

и

там приложен активный изгибающий момент

Мг (1 ), то

с(=\,о(г =

<и

и

Ы3 = М^(1)

и

Когда край оболочки может беспрепятственно

передвигаться

в горизонтальном направлении, то

д

= р3 —О и

д

^

7 .

Коля

же при этом

приложено активное

усилие

/\/Л(7

),

то уЗ --?0

, д . - /

,

уЗ = Nr ( l ). В

случае линейного упругого опирания по

отношент

к указанному

перемещению (и (1) =п Nr(1)), то уз = /,yas

= -(^ / + ~ T -j

рании

/»,=

/, / 2 Г I й »

/л = 0

•

При наличии

сосредоточенной

силы

Pf

уравнение

(1 .2 )

распадается

на два.

На участке

О & р

с

член

с

Рг

отсут­

ствует,

а

на

интервале

с < р <

1

он имеется.

Тогда

необходи­

мо произвести стыковку двух решений на различных

интервалах.

Ее условием

является

непрерывность

функций в(р) и и) Гр) и

их

первых

производных

в

точке р = с

.

Что

касается

условий(1 .2 0 }

и ( I . 2 I ) ,

то

они остаются в силе.

§ 1 ,2 .

Некоторые

свойства уравнения L ( ip) - J

Конструкция уравнений

системы

( I . I )

и

(1 .2 )

имеет

вид

(2. 1 ) :

L ( t ( f ) )

= f(p)'>

( 0 4 р ^1)

,

(2,1.

где

L

-

оператор

( 1 .4 ) , Поэтому

изучение

уравнения (2 .1 )

позволит получить ряд интересных качественных свойств

решения

системы

(1 ,1 ) и

( 1 .2 ) .

Соотношение

(2 .1 )

есть

линейное

уравне­

ние типа С.Жермен, изучение решений

которого

значительно

проще

нежели

нелинейных.

'^щее решение уравнения ( 2. 1) представимо в следующем ви­

де:

Р

а

(2.2)

rl (p )= flp + j r

+ 1

J(p-- j>

А и

В

о

где произвольные

константы

находятся на граничных ус­

ловиях.

Если

функция

f

интегрируема

на интервале

[О,

I.J

*

,

из условия

конечности

р(р)

при р -

о

получим,

что

Я=0 .

По­

этому примем во всех исследованиях,

что В*О . Естественно,что

при этом A -

t( (0)

.

Пусть

граничные

условия

при

р

=/

заданы

в форма

,

(2 .3 )

где

и

у

не

могут одновременно равняться

нулю.

Тогда.

к

Впредь все функции рассматриваются

на

интервале

0 ^