Файл: Шилькрут, Д. И. Вопросы качественной теории нелинейных оболочек.pdf
ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 23.10.2024
Просмотров: 51
Скачиваний: 0
если а(+рф 0 , то ,
4 ’зр)Л ‘
|
Г |
|
|
|
|
+ |
; |
|
< х + р Ф о . |
|
(2 .5 ) |
Соотношения (2 .4 ) и (2 .5 ) могут |
быть также получены посредст- |
||||
вом функции Грина К (уэ,я) для |
i |
самосоггряженного |
уравнения |
||
P L ( r i =2 j > W ) - - p - =0 |
|
( 2. 6 ) |
|||
|
|
||||
при однородных условиях |
(2 .7 ) |
|
[ 5 ] |
|
|
>?(о) = о |
и |
|
(1)= 0 - |
|
(2 .7 ) |
Тогда |
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
?(/>) = J |
— j) + JK {j> . *)a f(*)d * , |
|
( 2. 8) |
||
|
' |
0 |
|
|
|
где в данном случав функция Грина при о( +JZ ФО |
имеет |
вид |
|||
К |>, Л ) = < |
(2 .9 ) |
|
- » ? ) |
np" / » Л' |
d.+ J 3 ф 0 |
|
Общее решение типа (2 .2 ) может быть также записано через функ
цию Грина и в форме |
( 2 .1 0 ), так |
как интеграл из (2 .8 ) - одно |
|
из частных решений неоднородного |
уравнения (2. 1), |
удовлетво |
|
ряющее условиям ( 2 .7 ) . |
1 |
|
|
|
« |
|
|
7 ( f ) = cf +j r +J |
(2 Л 0 ) |
0 |
|
где C,J> - произвольные константы.
12
|
Коли же |
с* +ja = |
0 , то , |
как следует из ( 2 .4 ) , |
решение |
|||||
рассматриваемой |
краевой |
задачи |
может |
существовать |
только |
тог |
||||
да, когда удовлетворяется |
условие ( 2 . I I ) , вытекающее из |
тре |
||||||||
бования |
конечности |
, т .е . |
чтобы выражение в фигурных скоб |
|||||||
ках из |
|
( 2 ,4 ) |
равнялось |
бы нулю, |
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
|
(2 Л 1 ) |
Условие |
|
|
о |
|
|
и путем |
применения тождества |
|||
(2 .1 1 ) можно г/олучить |
||||||||||
Грина |
(2 .3 0 ) |
на |
интервале Со.1 |
] , взяв в качестве |
v = p |
, а |
||||
и= ^ |
и учитывая |
(2 .3 ) |
при |
Ы+р-0 |
. Случай &+р = о являет |
|||||
ся таким образом особым. Это можно объяснить известной альтер
нативой |
|
из |
теории краевых |
задач |
душ |
линейных дифференци |
||||||||||||||||
альных уравнений |
[5 |
] . |
|
|
a( + J3=Q |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
Легко увидеть, |
|
что |
при |
|
|
существует |
нетриви |
||||||||||||||
альное решение краевой задачи (2 .7 ) |
для |
|
L(//)=0 |
. Это |
|
реше |
||||||||||||||||
ние |
есть |
у= Ср, |
где |
С |
- |
произвольное |
число. |
Вот |
почему |
в |
||||||||||||
силу |
указанной |
выше альтернативы |
имеет |
место |
данный |
особый |
||||||||||||||||
случай. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
й |
|
|
|
|
|
|
|
При выполнении условия |
( 2 . I I ) |
константу |
|
невозможно |
|
||||||||||||||||
определить из ( 2 .4 ) . |
|
Решение |
при |
о(+р = 0 |
нужно |
строить |
по |
|||||||||||||||
средством |
так |
называемой |
обобщенной |
функции Грина |
[ 5 ] |
, |
при |
|||||||||||||||
нимающей для |
данной |
задачи |
вид (2. 12), |
а |
само |
решение |
|
пред |
||||||||||||||
ставляется |
при этом |
в |
форме |
( 2 .1 3 ) : |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
~ p ( j- +2я+2яр) при |
|
р |
« |
р |
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
К0 <>>я ) = |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
( 2 . 1 2 ) |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
y h(j >*2рг+2яр) |
при |
р |
» |
л |
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
/ |
|
|
|
|
Р |
|
|
|
|
|
4< р = о . |
|
|
|
||||
^ p ) =j2 - [ y j ( u 2 ^ ) j d^ +\ ( p ~ f ) f d A ] ; |
|
(2 .1 3 ) |
||||||||||||||||||||
|
|
|
о |
|
если |
о |
' |
оговорено |
особо, |
то |
|
этот |
||||||||||
|
В дальнейшем, |
не |
будет |
|
||||||||||||||||||
особый случай |
рассматривать мы |
не |
|
будем. |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
Хотя |
применение |
функции Грина |
(2 .9 ) и решение |
(2 .8 ) |
при |
||||||||||||||||
водит л конечном итоге к 'тому же результату, |
что |
и |
(2. 2 ), |
выра |
||||||||||||||||||
жение ( 2 .8 ) носит более общий характер, нежели ( 2 .2 ) . Дело |
в |
|||||||||||||||||||||
том, что последнее справедливо, если |
J |
(р ) |
|
- |
интегрируемая |
|
||||||||||||||||
Функция |
и теряет |
смысл, |
когда |
f( p ) |
не |
обладает |
этим |
|
каче- |
|||||||||||||
ством. Неинтегрируемость |
j ( p ) |
имеет |
место,когда |
на оболочку |
||||||
действуют сосредоточенные силы |
Р |
или |
Pt |
. В |
этом |
случае |
||||
справедливо решение (2 .8 ) |
через функцию Грина. Пусть |
|
||||||||
U p ) |
_ |
р |
' Р 1 ( р - с ) |
|
|
|
(2РГ4 |
|||
|
f |
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
||||||
Тогда решение ( 2. 8 ) принимает |
следующий вил |
при |
сУ <р / |
о |
||||||
О |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
_г JL |
Р ( |
Ы. |
|
(о7 > ) ] д |
|
|
|
|
||
2 \о(*р |
|
|
|
|
||||||
~ 1 ~ с* — 1/1с |
ПРИ Р С |
ф ч г у * " |
|
с
р1
г ( ' ^ ) / , Л ' г] ( ' ,* у ) Л ’'
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
при гГ* |
|
' • Г |
|
|
|
|
ОС-Р |
• |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
гле |
* |
= « 7 J |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Приведем некоторые основные свойства Функции Грина Л(/'. т) |
||||||||||||
необходимые в дальнейшем. |
К |
- |
непрерывная Функция. |
|
гимчот . |
|||||||||
ричная относительно своих аргументов |
(к (р |
л) - |
к <я .р)) |
и |
||||||||||
имеет |
разрыв первой |
и последующих производных |
в тпчде |
/■ - Я |
||||||||||
Например |
|
|
|
|
дК |
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
Lim |
ЭЛ |
|
lim |
J |
|
|
|
|
|
|
||
|
|
р »я*о 9/ |
р~я-о др |
Я |
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
К |
- |
решение уравнения |
( 2. 6 ) всюду, кроме |
точки |
р |
я |
|
при |
||||||
граничных условиях ( 2 .7 ) , |
Легко видим, что |
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
К ( р , а ) * о |
|
при |
ЯР |
> - » |
■ |
|
|
|
(У /Ь: |
|||
|
|
Физический |
смысл |
Л |
следующий. Она является |
|
фуикпаш'* |
|||||||
влияния от единичного сосредоточенного воздействия, |
|
р-г.споло- |
||||||||||||
генного в точке |
р * |
Я |
. Это явно показывает интеграл |
из(.2,В ) |
||||||||||
|
|
Перед тем как переходить к изучению |
свойств |
|
решений |
|||||||||
уравнения (2. 1 ) приведем |
|
ряд |
соотношений и |
тождеств, |
являющих |
|||||||||
ся |
хорошими средствами |
исследования |
указанных |
решений. |
|
|||||||||
14
Оначала рассмотрим некоторые .другие формы уравнения (2 *1 )
Посредством некоторых простых преобразований можно (2. 1) при дать вид
|
|
|
( Л / Ь / ' А |
|
|
|
|
|
( г А 'п |
|
Интегрируя |
( 2 .1 7 ) , |
подучим |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Р |
2 |
г |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
+ |
|
|
|
. |
(2 .1 8 . |
В ряду случаев удобно ввести |
Z |
|
|
|
х |
по |
формуле |
|||
новый аргумент |
||||||||||
|
|
|
р = е ~* |
т |
|
|
|
|
|
(2 .1 9 ) |
Тогда уравнение ( 2 .1 ) преобразуется в |
|
|
|
|
|
|||||
|
|
SL± |
= e "zxf |
; (о « |
x £ |
» |
) . |
|
(2. 20) |
|
|
|
dx |
* |
|
|
|
|
|
|
|
Рассмотрим ряд тождеств. Интегрирование по |
частям |
|
позволяет |
|||||||
записать соотношение ( 2. 21), |
откуда |
следует |
тождество |
( 2, 22) . |
||||||
|
J / Y |
fp )o ^ |
=f""1[fl'~(n-l)i[]+n(n- |
|
|
■ (2 ‘ 2 1 ) |
||||
|
P |
|
P |
<( / '//У (" |
\р |
|
||||
|
f /’7‘У-"О гЯ / |
'hi] I |
|
<2,22) |
||||||
|
1 |
|
{ |
|
|
|
|
-5 |
|
|
Из |
(2 ,2 2 ) как частные случаи |
вытекают |
следующие |
необходимые |
||||||
дня |
исследований |
тождества, |
полученные |
с |
учетом |
того , что |
||||
Г( (0) ■=0 : |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
W v r ' - f f t
(при |
П* 0 |
) |
, |
(2 .2 3 ) |
(при |
П" 1 |
) |
f |
(2 .2 4 ) |
0 |
о |
|
|
j / / t |
- / ( ? ' - - f - . ) |
(при / j= 2 ) . |
(2 .2 8 ) |
0 |
/ |
|
|
Ir,
| я / ^ 0 = '3 | уРрс/р+ / > * ^ '- 2 |
|
(при |
(2 .2 6 ) |
|
о |
о |
г |
|
|
Докажем тождество ( 2 .2 7 ) , которое |
является некоторой |
модифика |
||
цией тождества С.А.Чаплыгина [ |
6 , |
7 ] применительно: к |
данному |
|
уравнению: |
|
|
|
|
= - \(Л -ф*)& +М + |
(2 .2 7 ) |
|
|
|
|
Интегрируя первый интеграл |
иэ правой части (2 .2 8 ) по частям, |
|
можно записать: |
|
|
j r U f t y 1 |
j l - - ! ■ / * ыр ~ |
|
Отсюда, учитывая тождество |
(2 .2 9 ) и подставляя |
пределы |
интег |
||||||||||||
рирования, |
получим доказываемое |
тождество |
( 2 .2 7 ) . |
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
г I |
р |
- |
i t * ] |
- |
|
|
(2 .2 9 ) |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
Дяй |
самосопряженного |
оператора |
р L |
справедливо |
тождество |
||||||||||
Грина |
(2 .3 0 ) |
(см..например, |
[ 5 ] |
) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
Р |
|
|
|
|
|
|
|
Р |
f |
|
|
|
|
|
|
J [vpL(u)-upL(v)]c/p =[p(u'v-v'a)Jj |
|
|
(2 .3 0 ) |
||||||||||
где |
и |
fa |
- |
произвольные |
функции, |
|
|
P° |
|
интеграл |
су |
||||
, v |
для которых |
||||||||||||||
ш ествует. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
Рассмотрим ряд свойств решений уравнения |
( 2 - J ) . |
При про |
|||||||||||
ведении исследований будем пользоваться решением |
уравнения |
||||||||||||||
(2 .1 ) |
в виде |
(2 .2 ) или |
( 2 .4 ) , ( 2 .5 ) , |
Если |
же |
f(p) |
имеет |
осо |
|||||||
бенности неинтегрируемого типа, используем |
решение |
(2,Ь . |
пн:! |
||||||||||||
функцию Грина, при этом рассмотрим |
только |
особенности |
|
вида |
|||||||||||
( 2 ,1 4 ) . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
С в о й с т в о |
I . |
Решения |
задачи |
Коши |
(с |
. начальными |
|||||||
условиями) для уравнения ( 2. 1) |
существуют |
и единственные, |
ро |
||||||||||||
ли |
p f |
- интегрируемая фу пития. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
Гб