Файл: Шилькрут, Д. И. Вопросы качественной теории нелинейных оболочек.pdf

Справедливость этого утверждения вытекает из общих теорем

существования и единственности решения задачи Коши

для

обык­

новенных дифференциальных

уравнений

(с м .,

например,

L 34 ]

) ,

С в о й с т в о

2

(положительной

определенности

опе­

ратора

L

) .

При

q'(0)2

0

и

f ( j } ) ^ 0

решение

задачи Коша

у ( р ) ъ

О ♦

Правильность

этого утверждения

сразу

следует

из

(2 .2 )

при

8 = 0

,

если

учесть

что

Д=у'(0).

Тоже

самое

можно получить, если воспользоваться

решением

задачи Коши в

форме ( 2 .1 0 ) .

Таким образом

оператор L ~ само­

сопряженный и положительно определенный, что

существенна облег­

чает исследования

свойств решений уравнения

( 2. 1) .

р

,

С в о й с т в о

3 .

Если

/

-

нечетная функция

то

и

р

нечетна,

т . е . tj(~p)=-tf(p)u

наоборот.

Из

нечетности

ip

следует

также

нечетность

f

.

Справедливость первого утверждения непосредственно выте­

кает

из

(2 .5 ) или

( 2 .8 ) ,

если

учесть,'

что

неопределенный ин­

теграл от нечетной функции есть четный и что

К(р,Я)

-

нечет­

ная функция от

р

.

Второа утверждение сразу

следует

из

(2 .1 ),

так как производная от нечетной (четной) функции -

.четная

(не-?

четная) .

у ( р )

Все

рассмотренные

ниже свойства

относятся

к

решению

краевой

задачи

(2 .3 )

для

уравнения

( 2 .1 ) .

С в о й с т в о

4 .

Еоли

&)f(p)

знакопостоянна?

6 )6 i? " ы р ~ ~ * г ! (Р)

или

У =

0

(sign х

означает

знак

se = - - г - н -

-

/

то

y ( f )

также

зна­

а

)

;

в )

константа

<*+/>

знаку j( p )

у(0) Ф- 0 .

копостоянна,

ее

знак

противоположен

и

Знакопостоянство у (р)

и

ее знак

следуют

непосредственно

иэ

(2 .8 )

и свойства

(2 .1 6 ). функции Грина.

Можно-доказать это

свой-

ство

и путем небольшой

перестройки

решения в

форме ( 2. 5 ) . Тан

как

и

/

имеют противоположные

знаки,

при

аг

=s

~ 1

константа

y'CojfQ

и имеет

тот же

знакг что и f ( p )

,

как

это

видно

из

( 2 .3 1 ) ,

полуденного

из

( 2 . 8 ) .

1

(+р +

дк$У~

■

(2 .3 1 )

При этом

надо

иметь

и

следует

из

(2 .9 )

в виду,

что, как

ЭК fo,Я)

при

зг >-

1

др

Зак.188

ГОС. ПУБЛИЧНАЯ

17

Н А У Ч Н О -Т Е Х Н И Ч Е С К А Я

Б И БЛ И О Т ЕК А С С С Р

Условия,

накладываемые в данном свойстве на f ( p )

и константы

d , p

и

у

для

обеспечения

знакопостоянства

ij(f) ,

являют­

ся достаточными, но совсем

не необходимыми. Например,

пусть

= ~

- Тогда

4 (J > )± J^ J > - £ r (® + x - 2Sf

l+ 16^ -

Приведенная f(j>)

знакопеременна

( 1(0ГЦ - °,s

I f ( 0 =-Q $), одна-

,

ко легко

установить,

что при этом

О, если ^-+*

« О

и

[X > -

1

. Такой же пример можно привести,

когда

f

(J3) - нечет­

ная функция

(когда

f(j>)=~3j).+ 2,Sj))

. Следовательно,

и

для

более узкого класса

функций

/

может наблюдаться

случай,

когда

f

знакопеременш,

а ^

-

знакопостоянна.

Таким образом,

об­

ратное, по отношению к свойству

4, положение не верно.

Из

зна­

копостоянства

£

не следует

знакопостоянство

f

.

С в о й с т в о

5 .

Если

&)f(p) знакопостоянна ; б ){»(0)=

* 0

или

sign q '(О) =

sly n

/

,

то

i?(f)

и

Ц(р) тоже

знако­

постоянны и их знаки совпадают

с

/

• При этом,

естест ­

венно, jp -

монотонная функция.

В= 0

•Если взять решение ( 2 .1 )

в виде (2 .2 )

при

,

то

зна­

копостоянство

у

и

Tf'

и

совпадение их

знаков

с sign

f

непосредственно вытекает из (2 .2 ) и

( 2 .3 2 ) .

Последнее

получено

дифференцированием

(2. 2) .

р

(2 .3 2 )

о

Когда f (р) имеет особенности типа

( 2 .1 4 ),

положение

следую­

щее. Член, пропорциональный

Р

в

выражении

( 2 .1 5 ),

для

р

не имеет

производной при

о = О

Пт у'(р) = -

о о sign

Р

(2.33)

и поэтому

д'(£)

при любом сколь

угодно

малом

Е

> 0

всегда

имеет

знак,

противоположный

Р

и

условие

б)

настоящего

свой­

ства

не может иметь места.

Р,

,

Рассмотрим решение,

соответствующее

действию

силы

представленное

в

форме ( 2 .1 5 ),

если

положить там

Р = 0

.В

этом

случае

•

J -

Inc);

( o * c < t ) ,

(2 .3 4 )

где

Г = ф р

'

Пусть

Г^

0

и у'(0) &0

при

Р, > О,

что_соответ--

ствует

условиям данного свойства. Тогда,

как это

следует

из ( 2 Л 5 ) , У((р)

и ч'(р)

будут

положительными на

интервале

р г. с .

Рассмотрим второй интервал, т . е .

р

»

Для

этого

найдем

у'(уо)

на

этом интервале:.

( £ - 1 - 2 Ь р ) ] ; р > 0 .

(2.35)

Так как

Г > 0

и

^ ( о )^ 0

, то из

(2 .3 4 )

имеем

r>ijr Р,(1-с2--£ - Inc) .

(2. 36)

Отсюда,

если

учесть ( 2 .3 5 ) ,

получим

Таким образом свойство полностью доказано.

Сравнивая последние два свойства, можно

заключить,

что

поведение

у

,

когда f ( p )

знакопостоянна, во

многом оп­

ределяется

sign tf'(0)

. Когда

sign у1(0)

= — signf(p)

или

знакопостоянна и

sign у = -

sign f

(имеет место свой­

ство

4 ) или

у (р ) - знакопеременная (не соблюдаются

условия

свойства

4 ) .

Например,

пусть

f

= д р 3; (у >0)

и

y Y o ) = —

т|^Тбг-

да из (2 . 2)

получим у (Р)--^Ср-Чр1), которая

знакопеременна.

Если

же

sign

у'(0) = sign f( p )

,

то имеет

мест® свойство 5.

Роль g f(0)

в

поведении

д(р)

видная также из

следующе­

го

свойства.

6. Если f ( p )

С в о й с т в о

знакопоетоянна, т®

-

монотонная функция

и

sign (j£-)=

sign f •

Цри этом,

если

а )

соблюдаются

условия

свойотва 4 ,

то

maxj^jPI =I?'(°)1 ’

(2 .3 7 )

б)

имеет

место

свойство 5, то

(2 .3 8 )

за

исключением случая

наличия

у р (р )

слагаемого

с

(см .

(2 .Г 4 )

) .

Докажем это свойство. Из (2 .2 )

имеем

Ч(Р)

_

„VoN

,

1

^

( 1 - J ^ ) f ( * ) d n

(2 .3 9 )

Р

~

Ч'(0) + \

j

г

№ '- Ф

j f i

= - J f J

/ /

Met.t .

(2 .4 0 )

Сравнение

(2 .4 0 )

с (2 .2 5 )

доказывает

первое утверждение

на­

стоящего свойства, из которого'

уже непосредственно

следуют

(2 .3 7 )'

и

( 2 .3 8 ) ,

если

учесть,

что

в случае

a )

sign

tj'(&)

=

= sign

f

j

=

-

sign f

,

а

во

втором

случае

sign у1 (0) =

=

sign

.Д анное

свойство

доказано,

если решение

представимо

в

форме

( 2 .2 ) .

Бели же взять

решение

типа ( 2 .1 5 ),

то

так

как

для слагаемого,содержащего

Р ; свойство

5

место

не

имеет,

не

имеет место для него и пункт б) данного свойства.

Что же касается

члена

из

Jf-

,

содержащего

Р,

(

см.

(2 .1 5 )

) ,

Tq для него,

как

легко

установить,

справедливы

все

утверждения

доказываемого

свойства.

р

p f

С в о й с т в о

7 .

На первом участке

0

знако-

постоянства

ц н(р)

(

р 1

-

первый не равный нулю

нуль

функ-

ции ч"(р)

) , функции

у"(р)

и f ( p )

имеют одинаковые

знаки.

Действительно, для ц(р)

имеет место

тождество:

n(p) = 4(o )j> + J?(t)(p -t)i{t.

(2 .4 1 )

Подставляя

у

в

виде

(2 .4 1 )

в ( 2 .1 ) , получим следующее

ра­

венство, откуда

сразу

следует

сделанное

утверждение:

п"(?)+ у

)

J> »*(j>) f y - t y )

•

(2*42)

р

о

знакопостоянстваf(p)

Обратное утверждение,

что

на первом участке

функция у" (р )

также будет всюду знакопостоянна , неверно.Пер­

вый интервал знакопостоянства

р

(р)

шире, чем ?акой же

интер­

вал для у" (р) ,

т .е .

первый не равный нулю

нуль

p t

функции

f

(р)

всегда

больше

p f

. В самом деле,

в

точке

pf

по-

следнее

равенство

запишется

в

виде