Файл: Шилькрут, Д. И. Вопросы качественной теории нелинейных оболочек.pdf

ничных условиях,

отстаю щ и х неосеоимметричные

деформации обо­

лочек вращешя,

. содержатся как частный случай

уравнения и гра­

среди решений однородной краевой

задачи

для указанных

одно­

родных уравнений в частных

производных,

к которым сведена за­

дача о нахождении форм равновеоия

при нулевых

значениях

всех

параметров нагрузок, будут

содержаться и все

решения соответ­

ствующей краевой задачи для ооесимметричных деформаций.

Таким образом, еоли известно

для какой-то простой осеоим-

метричной нагрузки, что оболочка

вращешя имеет отрицательную

виальное решение соответствующей

однородной

краевой

задачи для

уравнений неооесимметричных

деформаций может

сущ ествовать, в

то время как для осесимметричных

его может не быть, Однако име­

ет место следующее следствие,

в

определенном

смысле

обратное

по отношению- к первому.

С л е д с т в и

е

2

и з

с в о й с т в а

I .

Если

оболочка вращения

нежесткая

по

отношению к

системе

^ 10~0

и

при осесимметричном

нагружении обладает

"

неосесимметричными

формами нежестности,

то

она

будет нежесткой и при

любом

не­

осесимметричном нагружении.

Доказательство этого утверждения аналогично доказательст­

ву предыдущего следствия.

Таким образом,

для

установления нежесткости

оболочки

вра­

щения (при заданных граничных условиях) в случае действия

лю­

бых несимметричных нагрузок достаточно установить ее

нежест-

кость по несимметричным формам под действием

осесимметричного

нагружения. Это свойство весьма

ценно, так как получение пол­

ных характеристик

о учетом закритических Состояний

в

случае

несимметричных деформаций связано с большими

вычислительными

трудностями. Нам, во всяком

случае, неизвестна

ни одна рабо­

т а , где это удалось

сделать

достаточно

полно

и вполне

надеж­

но. Имеющиеся попытки построить

такие характеристики

(напри­

мер, [ 6 2 , 6 3 ] ) не

доведены

до

нижних критических точек.

С в о й с т в о

2 ,

Пусть qig= О

. Если для

данной

оболочки при данных граничных условиях можно найти

такую на­

грузку

qj

,

что

при изменении знака у

q,j

состояние

оболочки

не меняется (с точностью до ее поворота на 180° как

абсолютно

твердое

тело

вокруг

некоторой оси) ,\а при другой нагрузке

q т

эта

оболочка

уже

не

обладает

указанным

свойством,

то

она не

может

быть

нежесткой

по

отношению к системе

В оамом деле. Характеристика рассматриваемой оболочки при

дейотвии

будет,

воледотвии ее

свойств,

кососимметричной

относительно начала координат (которому соответствует

триви­

альное

решение),

так

что

изменение

знака

у

^ .

приводит

к

изменению знака

у £

. Поэтому если оболочка будет

нежест­

кой,

то

эта

характеристика должна иметь

хотя

бы две

общие

точ­

ки с

осью

£

(кроме

начала

координат),

абоциооы которых

рав­

ны по величине и противоположны по знаку. Следовательно,

эти

же два состояния должны тогда

существовать у

этой

оболочки

и при действии

нагрузки

, что противоречит

принятым ус­

ловиям

рассматриваемого

свойотва.

Это противоречие

и

доказы­

вает

данное

утверждение.

Раоомотрим примеры применения

этих

свойств

для

качест­

мации.

а) Замкнутый (без отверстия у полюса) пологий сферический

купол.

Берется, что

— (7.

Эта оболочка

в

случае

неподвижного защемления ее

конту­

ра - жесткая, вплоть

до

весьма высоких

значений

Ь,0

.В се

име­

ющиеся решения в высоких приближениях для различных

нагрузок

подтверждают

этот

факт

[ 6 4 ,

6 5 ] , [ 3 , 1 9 , 2 1 ,

3 5 ]

и др.

В

случае

подвижного

защемления

область

изменения

/

£,01,

где

обо­

лочка

жесткая, должна быть больше, чем для неподвижного,

так

как

в

последнем случае значение нижней критической

нагрузки вы­

ше,

чем в перво».'. £ з , 65

и др!].В случае

шарнирного

закрепле­

ния оболочка уже нежесткая, начиная о

| £ j

=

1*5

для

непод­

вижной

опоры и с

|£0|=

5 для

подвижной

[ 3 ,6 5 , 6 6 ,

67

и др!].

В

§ 2 . 2 .

были

найдены точные значения

Ь,00

,

начиная о

которых появляются хлопки для ряда симметричных систем, к

ко­

торым

относится,

б

частности, шарнирный опертый'

сферичеокяй

купол,

нагруженный по краям контурными моментами ("чистый

из­

ги б ") «Мри этом было

получено

%00 =

0 ,6

для

неподвижной

опо-

также нежесткая, хотя она

уже не симметричная система.

Однако

эта сиотема симметризуема

в том смысле,

что

можно

подобрать

такую внешнюю нагрузку, при которой она

уже

будет

симметрич­

ной. В данном случае это

следующая нагрузка

- равномерно

рас­

пределенное давление cf,

и контурный момент М . При

этом

овязь между параметрами

нагрузок

для пары симметричных

форм

определяются соотношениями

+ ({г~ 3(1-JU2) ^0 ’

+ Mz = ^^>q ■

(2 .3 )

личие от защемленного сферического сегмента) - нежесткая.

Вое

это позволяет, как нам представляется,

высказать

следующую ги­

потезу, которая требует еще строгого обоснования.

Всякая замкнутая куполообразная оболочка,

начальная форма

которой

позволяет симметризацию - нежесткая,

начиная о

неко­

торого

значения

/ t,0/ . Эта

гипотеза дает, следовательно,овязь

между

явлением нежесткости и свойством симметрии.

б)

Рассмотрим мембранные оболочки и покажем, что при

ее

толщине

h= 0

уравнения таких оболочек

допуокают

существова­

ние бесчисленного множества

состояний

нежесткости, т .е .

иные,

L ( ^ = - ^ \ 9 * 2+ 2 в * в * ];с о * ( д * + е * )~ о .

(2 .4 )

Легко видеть, что эти уравнения имеют

бесчисленное множество к у -

оочно-регулярных решений типа ( 2 .6 ) ,

которые могут существовать,

при

/z=0 .

'

-2 в .(р );

0^ Р «

(2 .5 )

с о * ( р ),д ; в '( р У

1

где

число 0<

/.

Эти решения являются кусочно-гладкими изометрическими, гео­

метрическими изгибаниями начальной поверхности путем зеркаль­

ного отражения (выворота) околополюспой области

оболочки

в

пределах - о ( <р < о(. Подобные отражения различных

околополюсных

частей

оболочки можно

осуществлять, многократно

получая

при

этом все новые, более

сложные

по конфигурации

изометрические

преобразования начальной поверхности*.

Исходя из этих соображений можно утверждать, что

у

тех

оболочек,

для которых

решения

уравнений

типа

( I . I . I ) и ( I .I .2 )

(записанных в размерных величинах, чтобы выделить

Л

) .

стре­

мятся

при

h~^0

к решениях,1 уравнений,

полученных из

послед­

них при

h -O , с

ростом IZgf

появляется нежесткооть

и

число

точек

пежесткости

увеличивается с

увеличением

|Е,0 | .

При

этом

чем больше /<^0 /

,

тем

состояния

нежеоткости будут

ближе к

опиоанным выше

изометрическим

изгибаниям начальной

поверх­

ности. Тогда с ростом

/ Е 0 / число

различных решений при

од­

ном и

том же значении параметра нагрузни

также

должно

расти

(увеличивается степень

неоднозначности решений

соответствую ­

ленными решения™ для шарнирно закрепленного

сферического

се г ­

мента. В от, например, данные,

полученные

автором и его

сотруд­

никами для чистого изгиба этих оболочек

[ 3 ,

4 7 ] .

Опирание

подвижное.

Тогда

при Jt,0f=6

имеются две

точки нежеоткости;

l%0l= Ю -6 таких

точек;

/£ 0 /=15,15-10

-

т о ч е к ;)lf;0 |

=

20 -

14

точек. Опирание

неподвижное.

/ £ 0 /

=

4

- 6

точен;

j^ p f

= 7 -

12 точек;

l^0f=

15Д 5 -

28 точек. И

т .д .

При этом

увеличение

числа точек нежеоткости

сопровождается ростом

отепеии

неодно­

указанный выше предельный переход при h~>0 не

имеет м ео та ,ес­

ли оболочка нежеоткая. Таким образом,

один из

путей разрешения

весьма

трудного

вопроса о

единственности

или

многозначности

решений уравнений нелинейной теории оболочки овязан

о

этим

предельным переходом. Следует подчеркнуть, что

многозначность

решений вряд ли является результатом предположений

заложенных

в

оонову

теории

оболочек. Так, например, у непологих

оболочек,

в

теории

которых

отброшены

предположения,

связанные

о

поло­

гостью ,

степень

многозначности решений не меньше чем у

пологих.

У нао

имеются много таких конкретных

численных данных,

под­

тверждающих этот

ф акт,часть

из которых

опубликованы

в [4 0 ] .

^ Попутно отметим, что такими решения!',га обладают

уравне­

ния нелинейной теории произвольных оболочек,если

h=0

и

нет

рых приближенных

методов

вепенпя задач

пассматриваемой теории

( •[68, 69] и др.

) .

‘

*