Файл: Шилькрут, Д. И. Вопросы качественной теории нелинейных оболочек.pdf

при /V^/Vp хлопков не

будет. При A/B</V</V/} могут

быть

три фор­

мы равновесия при одном и том же М ( Л / - фиксирован).

Характе­

ристика, построенная

при фиксированном N=NB (для

точки В ) ,

Тогда

при NC<N<NB могут

быть уже пять форм равновесия при

од - 1

ном и

том же

М .Точнее,

при N ^ Nй одна форма равновесия.

При

Nq< N< Na

будет уже три формы равновесия.

При А/с <N </Vfl -

пять

форм и т .д .

до бесконечности. Таким образом

с увеличением зш че-

ния //V |число

форм равновесия данной оболочки

неограниченно

уве­

тодики

определения

$0 , изложенной в § 2 .2 .

Необходимо найти значения

N ,при которых уравнение

( I . I )

имеет

нетривиальные

решения при

однородных граничных условиях (1 .2 )

Аг

L ( $ в ) = 12 ( l- ju 2) N ~ f ( r - P 2) de .

( 1. 1)

& в (0 )= 0 ;

(&В(1))'+#8-е(1) = 0 .

( 1.2)

Легко

показать,

что

указанная

задача имеет

дискретный

спектр

действительных ооботенных

значений

( с м .,

например,

[б о ]

) .

В

олучае

(*0 =

О

(плаотина) данная задача -

это

задача

об

опре­

делении критической сжимающей нагрузки при выпучивании

круглой

линейной

плаотины,

шарнирно закрепленной по краям

(ом..например),

[ 6 1 ]

) .

На рио. 12 проведены огибающие Sr , Sz . Симметрично

им от­

носительно

линии

А/ =

5 ,2

идут

нижние

ветви

этих

огибающих

(на рио. 12 они не приведены). Эти огибающие имеют ясный

физи­

ческий

смысл.

За

пределы

области,

ограниченной

огибающей

S,

(правее

5 , ) ,

воюду имеется только

одно

решение

при данном

N

и

М ,

т .е . через

каждую

точку на

плоскости

|/V, м\

за пределы

указанной области проходит только одна кривая

из

семейства

cj1(0)~ const.

В

области,

ограниченной

огибающими

Sf

и

S 2 ,

будут уже три решения. Внутри

области,

ограниченной

огибающи­

ми

Sz

и

5 3

,

будет по пять решений. И т .д .

Таким

образом,

огибающие

Sn Sz ,S 3 и

т .д .

являются границами

соответствующих

областей

устойчивости.

На

рис.

13

приведена

часть первого

листа

номограммы .пли

той же

оболочки

при

ц = 10 .Кривые со'(0) = const

уже-не

явля-

ются симметричными, что показано в главе 2 .

Однако кривые

при

одном и том же со*(о) для

(f =

10

и

q -

-1 0 будут взаимно

симметричными относительно той же линии

М = 5 .2

(см .свойство

симметрии

пучка характеристик в

§ 2 . 4 ) .

Следовательно,

доста­

точно строить

номограммы только

для

Cf

одного знака,что суще­

ственно сокращает объем работ.На

рис.

1 3 . отчетливо видны "осо­

бые"

точки указанною выле тша,тслько они уже

не

лежат

на

прямой

и свойство увеличения числа решений при

одних и тех же N и М

с ростом

//V/

сохраняется.

Таким

образом,

указанные номограм­

мы

позволили

установить важный эффект изменения числа

форм

равновесия

в

зависимости от величины контурного

усилия

N .

отроить семейства кривых со‘(о)= const

и

в'(о)= const

на

плос­

костях

М и у

,

что значительно

уменьшает количество

номо­

грамм.

Самый простой случай - это неподвижно защемленный к р а й ,■

когда

можно просто

изобразить графики В (о)

и ю'(о)

как

функ­

ции

q

. Такие

графики приведены в

[ 3 ] .

Отметим,

что

все

эти случаи содержатся в номограммах для

подвижного

шарнирного

опирания.

Рассмотренная

методика поотроения подобных номограмм но-

оит

общий характер

и может быть применена

для любых осесиммет­

Во второй главе уже использовалось понятие нежесткой обо-

лочни, способной иметь деформированные (нетривиальные)

состоя­

ния равновесия при нулевых значениях

параметров

внзшних нагрузок.

Обобщим это' понятие.Пусть на оболочку действуют

произвольные

вЁгёшниё

силы с

параметрами

=

/, 2, ■

П, п+1). Величины

всех

параметров,

кроме

q п+1

зафиксируем

(их

числовые

зна­

чения обозначим через

q i0

)

и будем изучать

поведение

обо­

лочки при изменении последнего,

не меняя граничных уоловий.Обо-

“лочку назовем "нежесткой по отношению к сиотеме

сил q io "

.е с ­

ли она имеет более одной формы равновесия при

q mi =0,

т .е .

когда характеристика, построенная в координатах

i

(какой-то

параметр

деформации оболочки),

qn+1

будет

иметь с

ооыо

X

(которую

условимся совмещать

с осью абспиоо) по крайней

мере

две

общие

точки.

В противном, случае оболочку будем

называть

"жесткой по отношению к qir".

В

определении

нежесткости

(по

И.И.Воровичу) предполагается,

что

вое

q -Q = 0 .

Жесткие оболочки обладают ценным-свойством

существования

интервала

а

< 6

*

0 ^

0

и b >О

,

где

невозможна

потеря устойчивости (ни в

малом и ни в

большом),

так

как

ха­

рактеристика имеет тогда с осью

£

только

одну общую точку.

Рассмотрим некоторые

основные

свойства

нежесткой

оболочки.

С в о й с т в о

I .

Если

данная оболочка

будет

нежесткой

(жесткой)

по отношению

«

системе

сил

q -Q(i, -

1,2, . .

.,/7)

под