Файл: Цирлин, А. М. Основы оптимального управления конспект лекций.pdf

канию наибольшего или наименьшего значения функции

нескольких

пере-

менннх. на некоторое множестве юс доиустиынх

значения. Так как

зада­

чу определения минимума функции £ 0

всегда

можно свести

к

задаче о

максимуме функции

J

, то ниже мн будем

говорить

лишь

об

отыскании

максимума.

Метода

нелинейного

программирования

изложены

в

предельно

упрощенном

виде,

причем основное

внимание уделено

тем

методам,

которые нашли прямое продолжение в

исследваняи вариационных задач.

Условие для А. Если, наоборот, из В следует А, то В

доста­

точно для А,

которому

может быть оценен любой студент. Этот критерий

учитыва­

ет успеваемость, общественную "и научную работу и т . д .

1?ак,что

каждому

студенту

соответствует число, Нужно в некоторой

J-ой

группе

(множество

Д) определить лучшего студента.

Получим необходимые условия. Если студент

лучший (А),

значит

Он не хуже своих соседей

по списку (В). Таким

образом, для того

чтобы студент был выбран, необходимо, чтобы он был не хуже

ОБОИХ соседей. Пользуясь

этим, мы можем сначала выбрать

тег

каждый из

которых лучший на своем курсе. Мы можем

в этом

случав

опираться

на достаточное условие

(если

студент лучший на

курсе

(В)у то он

лучший и в группе (А)),

и

попытаться

найти

в

Если Ja(y)непрерывна

в ограниченной

замкнутой области

то

в этой

области она достигает

своего максимума и минимума / те*

орема Вейерштрасса/. Если область t)

не замкнута, то ф у н к ц и я ^

достигает

своей верхней /нижней/ грани.

Ниже в этом

пара­

графе мы будем считать,

ч т о ^ ^ г

£ )

и . следовательно,

верхняя

грань функции совпадает с ее максимумом.

Простейшим способом определения максимального значения функции

«У^,( у

)

мог бы быть

простой перебор всех допустимых

в

вадаче

значений

^

с вычислением

функции

^ а

для каждого

из них.

Однако этот

путь

сколь

прост,

столь

и трудоемок. Мы вместо

част­

ной

задачи

(найти

максимум) решаем

более

простую задачу (вычис- ,

лить

функцию), но решаем многократно. Такой прием - погружение за ­

дачи в класс

более простых задач - в некоторых случаях с успехом

применяется.

Однако

в данном случае он вряд ли целесообразен.

Совсем

плохо

обстоит

дело', если множество Д содержит

бесконечное

число

элементов. Поэтому обычно

выявляют уо -

иске

максимума

задачей о выполнении необходимых или достаточных

для

этого условий.

Необходимое условие максимума функции одной перемвнной-

Обычная логика получения

необходимых условий

такова:

стараются выбрать

такое

подмножество I/

(= £}

значений аргу­

мента ^

, на котором

функцию^f^J можно

было бы заменить

неко­

торым

простым

выражением.

При этом уяловие максимума ^ 0

( ^

на /j

удается

сформулировать

сравнительно просто, а оно явля­

ется

необходимым условием

макоимума _/-0

( у

)

на

Д.

Будем

рассматривать

функции

дважды

дифференцируемые.

Тогда,

выбрав

в

качестве

множестъа/j

£

-

окрестность

некоторого

зна­

чения

а р г у м е н т а " ,

иожно

на

Z

заменить

J^^ty

)

квад­

ратичной параболой, что приводит к условиям максимума,

для

того,

чтобы

^Jv

( ^

)

была

максимальна

при

у

=

у * ,

необходимо

°

J

O . I )

Условия эти следуют из того факта, что любая допустимая

вариация

у относительно

не

должна

приводить

к увеличению

) . Выбрав окрестность df

достаточно малой,

поведе­

ние функции в ней можно охарактеризовать первыми двумя членами

ряда

Тейлора,

Итак,

п р и — - - . ^

чразложим

( ^

) в

ряд

Тейлора

Г)- /»г? v+7A'f??+£

Г/Лу*м ..

Будем считать (это существенно), что точка

расположена

внутри

области

Л

допустимых

^

,

и

значит,

множество

оравнения,

как

это зафиксировано

в (3 . 4),

включает

как

положительные,

так

и отрицательные

значения

~jT

» '