Файл: Цирлин, А. М. Основы оптимального управления конспект лекций.pdf
ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 23.10.2024
Просмотров: 86
Скачиваний: 0
При формулировке достаточных условий оптимальности в пункте
14.6 использован функционал £ ' • , в |
подиятегральном |
выражении |
ко |
||||||
торого каждой |
связи |
соответствовало |
слагаемое |
1^>. |
По форме |
это |
|||
•слагаемое |
отличалось |
от |
PC g |
только темчто в функцию ji |
вво |
||||
дилась зависимость от переменных задачи. Ввиду этого нет нужды |
|||||||||
находить |
слагаемые |
Q t g |
для |
различных форм связей и составлять |
|||||
отдельную |
таблицу. Можно брать |
/?(^из табл. |
15.1 |
и вместо |
|
||||
подставлять </1 \. |
4 |
) . |
|
|
|
|
|
||
Таблицу (15 |
.IJ можно использовать и при критериях оптимальности, |
||||||||
отличных |
от ( 1 |
4 . I ) . |
В качестве |
примера рассмотрим критерий вида |
|||||
|
|
|
4^[0,Т] |
|
|
|
|
|
|
(15.18) |
|
||
Аналогично дискретной |
задаче |
(.см.п. 12.5) |
перепишем |
выражение |
|
||||||||
U5.8) |
в форме |
двух |
условий |
|
|
|
г |
|
|
|
|||
|
S^p |
Т= |
|
|
|
|
|
/фс//} |
|
|
|||
В этих |
условиях |
|
- |
постоянный параметр, |
не зависящией |
от £ |
. |
||||||
Если целевой функции (14.I) |
в R |
соответствовало |
слагаемое |
|
|||||||||
^ 0 = - £ v c / i ^ ' |
т о |
Фуикционзлу |
|
в |
/? |
соответствует |
слагаё- |
||||||
причем , / / о 6 0 ~ |
0, |
а |
^ |
|
меняется в открытой области. Так как |
||||||||
в другие слагаемые |
R |
eg |
параметр |
% |
не входит, |
то условие |
ста |
||||||
ционарности )S> |
по |
~% |
приводит к |
равенству |
|
|
|
||||||
|
|
JJoftjdi- |
|
|
|
|
|
(15.19) |
|
||||
|
|
|
о |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Критерий, зависящий от конечного состояния объекта^
может оыть записан в форме (14.I)
Соответствующее этому критерию слагаемое в R
аь.21)
Наконец, критерию общего вида
I |
- f j . W i |
- |
т> |
|
соответствует |
|
|
|
|
|
|
|
(15.22) |
|
Здесь |
функции ^ 0 и |
цредполагаются |
непрерывными по |
совокуп- |
ноотн |
своих аргументов. |
|
|
|
|
Полученные результаты |
удобно свести |
в таблицу, аналогично |
|
табл.... 15. 1м |
|
|
|
|
|
|
|
Таблица 15.2. |
|
& п/п |
Максимизируемый |
#0 |
I r p . |
И г р . |
|
функционал |
|
|
|
|
|
|
|
|
i . |
о |
|
/ . |
|
|
|
|
||
2? |
|
|
и |
У |
о |
|
|
|
|
3. |
|
|
|
|
« |
Ln/CyJJ |
|
|
|
|
4шт] |
|
|
|
При неполь8ованйн табл. 15 . I и 15.2 составляют функднш
причем к переменным первой группы на интервале («//ауФ'Д/ относят лишь те нереиеннне', которые в /?„ и в каждой из ^с^# фигурируют, как переменные первой группы.
§ 16. Задачи со связями в форме дифференциальных уравнений. Необходимые условия оптимальности-:-
В природе очень многие процессы с достаточной точностью опи сываются дифференциальными уравнениями. Работы, посвященные опти мальному управлению объектами, характеризующимися совокупностью дифференциальных уравнений, составляют львиную долю общего числа работ по оптимальному управлению. Остановимся в этом параграфе на необходимых условиях оптимальности в задачах со' связями в форме
дифференциальных |
уравнений. |
|
|
|
|
|
|
||
16.1. Задача |
со свободным правым концом*. |
|
|
|
|||||
Пусть управляемая |
система |
описывается |
уравнениями |
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
416.1) |
|
|
X |
|
^J^J |
|
|
Ра 1,2,.., Л |
|
||
Требуется |
перевести |
систему |
из |
заданного |
начального состояния .Х(О) |
||||
в п-мерном |
пространстве .^Чфазовом пространстве |
системы) |
в |
неко |
|||||
торое нефиксированное заранее состояние |
J^(T) |
за Время |
Т( |
кото |
|||||
рое также |
требуется |
г.тйти, |
|
чтобы функционал |
|
|
|
||
был максимален. Управленце |
|
^замкнутой и ограниченной |
области |
||||||
в ft] -мерном пространс'тве ~Ц~. |
Функции |
у£{ |
0 =* 0 , 1 , . . . rt ) |
||||||
предполагаются непрерывными по совокупности своих аргументов и не прерывно дифференцируемыми по У и т£~.
Наряду с системой из ?Z уравнений (16.I) запишем уравнение для (п+1)-й переменной - времени
УПН (TJ- свободно.
|
|
|
f56 |
|
|
для получившейся |
задачи |
запишем функцию |
/4?, пользуясь табл. |
||
I 5 . I . |
|
|
л |
|
|
Здесь вектор |
J/ |
имеет |
размерность (п+I,). Задача регулярна |
по |
|
и сингулярна |
по *Х . Выделим ту часть |
функции z^7 , которая |
зави |
||
сит от управлония |
|
^ |
|
|
|
функцию Н называют функцией Гамильтона по имени английского ученого использовавшего аналогичную конструкцию в задачах аналитической ме ханики.
Условия стационарности функционала Лагранжа /Sf по У и максиму ма по \4i примут в данном случае вид
у = 1,2,. |
. у / 1 |
U€- Vv |
(16.6) |
Наконец, уравнения связей ^16.1) также можно записать через функ цию Гамильтона
У
Таким образом, необходимые условия § 14 для данной задачи при водят к теореме 16.1 ( принцип максимума Понтрягина). Если У( l6 ) 'оптимальное управление, то существует такая непрерывная ненулевая
вектор-функция |
|
, удовлетворяющая (16.5), |
||
[что для любого |
момента 2Г |
выполнено условие |
(16 . б) . Из непрерыв |
|
ности^ft |
(•£ ) "и условия |
( 7Х ) = 0 |
(ом.табл. 15.1) следует |
|
что на границе |
интервала |
, |
|
|
yf(Tj= 0 |
а б . 7 ) |
.'5 7
Условие общности положения прииенительное к |
этой задаче означает, |
||||||
что |
множество |
Vu |
и уравнения (16.1) |
должны |
быть |
такими, чтобы |
|
траектория |
не была изолированной. Ее должны |
"окружить" |
допу |
||||
стимые траектории. |
|
|
|
|
|
||
|
Схема решения такова: |
|
|
|
|
||
1) |
из условий |
максимума Н определяется |
*Ц *~ , как функция ^ |
; |
|||
2) |
решав совместно (16.4) с условиями |
(16.7); (16.6) с условиями |
|||||
У(0)=Уи^ (16.5), |
паходят оптимальные и |
|
|
Задача |
|||
эта |
далеко не проста, так как граничные условия для дифференциальных |
||||||
уравнений заданы па различных концах траектории.Кроме того, нужно
одновременно с |
решением |
уравнений обеспечивать условие максимума Н |
|||||
по |
£•/ |
, Ниже в специальном параграфе мы остановимся |
подробнее |
на |
|||
вычислительном |
аспекте |
задачи. |
|
|
|||
|
Рассмотрим |
поведение |
функции Н вдоль решения, удовлетворяющего |
||||
необходимым условиям. Обозначим для кратности через |
вектор |
с |
|||||
составляющими |
^ |
, У |
. Из условия (16.5) следует [24 ] |
|
|||
Из |
этих |
неравенств |
получим |
|
|
||
Так как |
в е к т о р е |
и функция Н непрерывны^при |
Д-*-0) крайние члены |
в (16.8) |
стремятся |
к нулю, а значит к нулю стремится и приращение |
|
функции |
Н на оптимальном решении, что говорит |
о непрерывности Н по |
|
4 даже в точках разрыва управления.Это можно было предполагать, так как в момент переключения