Файл: Цирлин, А. М. Основы оптимального управления конспект лекций.pdf
ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 23.10.2024
Просмотров: 87
Скачиваний: 0
w
§ 15. Приведение различных |
типов связей и ограничений |
к каноничеокой |
Форме. |
Для того, чтобы использовать уоловия оптимальности, получен ные в предыдущем параграфе, в конкретных задачах, попытаемся записать в канонической форме и найти слагаемые /Qg для наи более распространенных типов связей между переменными.
15.1. Ироотейшее изопериметрическое условие
(15.1)
4.
Эта связь подробно рассмотрена в§ 13 и представляет собой частный олучай (14.6). Выше показано, что
Связь регулярна по всем входящим в нее составляющим решения, так как функция^предполагается регулярной функцией времени.
15.2. Уоловия, наложенные при фиксированном |
^ |
=. 7 / в . |
|||||
В каноничеокой |
форме может быть |
записано |
аналогично |
( Б . 1 ) |
|||
JJfttfjW-AMe |
- 0 |
|
|
(15.3) |
|||
Здеоь . C |
J - |
любой |
промежуток, включающий |
в себя значение |
|||
-Г-^о' |
Ив |
(15.3) и |
(15.2) |
следует, |
что |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
,(15.4) ' |
Связь |
сингулярна по входящим в нее составляющим решения, но Rcg • |
равно |
нулю для всех T T V Z ^ * |
15.3. |
Конечные соотношения |
|
||
Jfc/faJ |
= 0 |
для |
г |
(15.5) |
Равенство |
(15.5) при непрерывной по совокупности |
аргументов |
||
функции^лля |
всех 7)" i |
лежащих |
в интервале ( t d |
эквива |
лентно условию_ •
откуда
Т
Для |
|
f^i, |
|
- О, а на границах интервала |
зна |
|
чение |
функции J? |
должно быть доопределено, и соответствующие |
||||
условия |
приведут |
к появлению |
в @ |
олагаомых типа ( Б . 4 ) . |
Связь |
|
(15.5) |
сингулярна по всем, входящим в нее, составляющим решения, |
|||||
|
15.4. Дифференциальные |
уравнения |
|
|||
последнее выражение для rt^[0/ T"Jможно переписзть,как
Здесь |
А |
( 4. ) - |
функция Хевиоайд>?, равная единице при ^ $ О, |
и нулю при |
h |
*0 |
|
o r - о
~*(0) JJfc)c/V,
где # c i |
=Jj/fr)[xatffr-// |
-/fau, |
|
Jjirr-w<//s |
|||||||
При |
заданном значении _Х\ и ; |
второе слагаемое |
в i I 5 . I 0 ) |
не эа- |
|||||||
внспт |
от варьируемых |
составляющих решения. Выражение |
l i b . I I ) |
для" |
|||||||
дифференцируемой |
tj |
у{) |
можно записать |
в несколько оолее удобной |
|||||||
форме, |
введя |
функцию |
|
|
|
|
|
|
|
||
Получим |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
с & |
|
|
|
|
|
|
|
|
U5 . I3) |
||
Подинтегральное выражение в vI5.U) состоит из двух слагаемых, |
|||||||||||
первое из которых сингулярно и |
содержит только У |
(4), |
второе |
же, |
|||||||
куда входят X и U . |
, регулярно зависит от времени. Так что связь |
||||||||||
регулярна |
по |
1L |
и |
сингулярна |
по У |
. |
|
|
|
||
15.5. |
Интегральные |
уравнения |
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
г |
Ub.14) |
|
Переписав |
У |
( Т |
) |
в форме интеграла, |
получим |
|
|
||||
|
|
|
|||||||||
Слагаемое |
|
-£ |
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
у |
|
|
|
-/ |
|
|
|
|
|
В частности, для линейного интегрального уравнения, связывающего выходной У и входной Ы. сигналы динамической системы:
i5i
-г,
Для системы автономной, физически реализуемой
£a |
= МШМ |
~ *MAfr- |
VSfto/r |
U 6 . I 7 ) |
|||
Связь |
сингулярна по |
У |
н регулярна до |
. |
|
||
J.t>.t>. Рекуррентные |
соотношения. |
|
|
||||
В некоторых |
задачах |
наряду с переменными, зависящими от непре |
|||||
рывного аргумента, |
встречаются и фу!1кция |
дискретного |
аргумента. |
||||
Ввиду |
того, |
для |
связей |
между такими функциями также |
получим |
||
слагаемые в |
/? |
. Так,для рекуррентного соотношения |
|
||||
о
где |
6 = 0,1, |
. . ., л/. |
|
|
Подилтетральное |
выражение сингулярно из-за наличия |
S-функций, |
||
что |
приводит |
к |
сингулярности связи не только по X, |
но и по I t |
|
отличие от дифференциального уравнения). |
|
||
|
Ра> |
=<y/i+, |
|
|
Это выралвние совпадает с выражением, полученным в § 12-Дсм.таб
лицу 12.IJ. |
Псе остальные |
слагаемые |
записанные в табли |
|||
це |
12.1, можно получить таким же образом, |
причем |
для |
заяиои из: |
||
в |
канонической |
форме U4.6) |
приходится вводить |
§ - |
функции, а |
|
это значит, что по переменным, зави'-ящим от дискретного аргумента, задача всегда сингулярна, а значит их следует отнести к переменным второй группы.
15Z
15.7. Таблица слагаемых |
и некоторые формы |
|
|
||
|
критериев оптимальности. |
|
|
|
|
Сведем полученные слагаемые для различных форм связей |
в |
таблицу. |
|||
|
|
|
Таблица |
1 5 . I . |
|
*n.Di |
Связь |
се |
I г р . |
I I TJb |
|
|
|
|
|
||
I .
о |
при - t^a,^} |
3. |
У |
|
5.
•fj(r)c/r; и
v(r+j- 0
6.
o/T.
Выше для канонической формы |
записи было показано, что |
ограни |
|||||
чениям в функционале |
Лагранжа |
^ |
соответствуют такие |
же сла |
|||
гаемые, как и связям, |
но на знак |
множителя j i |
наложены условия |
||||
неположительности |
(14.26), еоли |
|
соответствувдее ограничение |
||||
С учетом |
этого |
обстоятельства табл. |
15 . I может |
быть ис |
|||
пользована и для задач |
с ограничениями. |
|
|
||||