Файл: Цирлин, А. М. Основы оптимального управления конспект лекций.pdf
ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 23.10.2024
Просмотров: 79
Скачиваний: 0
|
|
|
|
|
|
169 |
Н примет |
|
наибольшее |
значение„ если при |
|||
1) |
9^ |
^ |
0,Ц.= |
+1 - |
максимальное значение управления, |
|
2) |
у> |
|
0 , l i = |
|
- I - минимальное значение управления, |
|
'3) |
(/s |
|
= 0,М_ |
- |
не |
определено, |
В точке, где функция Ч£ меняет знак с + на - , должно происхо дить переключение управления с верхнего предельного значения на нижнее. Так как ^ линейная функция и не равна нулю тождест венно, то управление определено почти всюду и равно
Функция S п определяется следующим образом: j " +1^Х>0
Оптимальное управление имеет два интервала постоянства: на одном
из которых оно равно +1, а на другом |
- |
I . |
Оптимальная траектория будет состоять |
йз |
двух отрезков ( соответ- |
.ственно числу интервалов постоянства |
оптимального управления): |
|
1-й отрезок |
|
|
У I — У- У2 ~>- О ± |
- отрезок параболы; |
2-й отрезок
У, s |
_ |
J |
_ |
y |
J + |
с < |
|
|
|
«2 |
'' |
-2 |
-также отрезок параболы. |
На рисунке |
16.2 |
показаны |
семейства оптимальных траекторий для |
|||
U = +1 и К |
= |
- |
I . |
|
|
|
щ
Рассмотрим два ВОЭМОЕНЫХ варианта оптимальных траекторий при раз личных исходных пунктах ( начальных условиях) ^рисДб.З). движение из начальной точки должно осуществляться по соответствующей парабо ла I ее свободный член определится начальными условиями) до встречи с параболой, проходящей через начало координат. В этот момент уп равление переключается с одного предельного значения на другое.
|
.Выбирая различные начальные условия, можно построить линию, на |
||||||||||||||
которой будет |
происходить |
переключение |
управления, из какой бы |
точ |
|||||||||||
ки фазовой плоскости .не начиналась движение |
- линию*переключения. |
||||||||||||||
В нашем примере линия переключения будет состоять из отрезков |
па |
||||||||||||||
рабол, проходящих через начало координат (пунктир на рио.хе.з) |
|
||||||||||||||
|
|
проходящих |
через |
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ниже АОВ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
выше АОВ |
|
|
|
|
|
|
Рассчитаем оптимальные траектории и момент времени переюшчензя |
||||||||||||||
для |
конкретных начальных условий |
У Н |
( - 1 ; |
- I ) ; конечная 1-очка |
|
||||||||||
|
|
|
|
., к. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
координат |
|
ОС ( 0 ; |
0 |
).• |
|
|
|
|
|
|
|
||||
а) |
точка |
( - 1 , - I ) |
лежит ниже линии АОВ, поэтому первый участок |
|
|||||||||||
|
ffi |
а +1 |
и, |
следовательно» |
|
|
|
|
|
||||||
|
У |
= |
|
— У.п |
^ |
— - — - |
|
- первая |
парабола |
|
|||||
|
|
<* |
2 |
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
||
|
V |
Й |
|
— |
V Z |
|
|
- |
вторая |
цаоабола". |
|
|
|||
|
|
I |
2 |
|
* |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
"б) |
точка |
переключення |
имеет |
координаты |
на пересечении двух парабол |
||||||||||
|
|
У , |
* |
— Е - у |
|
г |
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
~М |
|
|
2 |
|
* |
' |
|
|
|
|
|
|
|
в) |
момент |
|
времени |
переключения |
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
Л |
|
- |
)С |
« « с |
|
|
|
||
i71
Постоянную |
C£ находим |
из начальных условий |
( £ = О, J<^=-I |
||||
откуда |
4п |
= |
- | - ~ 1 |
• |
' |
/ |
° • + I + °2 |
Задача, |
таким |
образом, |
полностью |
решена. |
|
I c2 =-if |
|
|
|
||||||
16.7. Условия оптимальности циклического процесса •
А.Аппарат периодического действия .
Вхимической технологии многие процессы проводятся в периоди ческом режиме. Этот режим характерен не только для периодических реакторов, но и для аппаратов со стареющим катализатором, с перио дической очисткой коксующихся труб и пр. Одна из возможных поста новок оптимальных задач для таких процессов выглядит следующим образом.
Требуется обеспечить максимум средней производительности ап парата. Для этого нужно выбрать оптимальным образом управляющие
переменные |
как функции |
времени |
и время цикла Т. Будем считать, |
|||||||
что известно постоянное |
время |
простоя |
ТП р между циклами. |
Итак, |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
г |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
о |
° |
|
(16.8?) |
|
$ |
= |
/ С * , |
^ |
|
|
|
|
(16.38) |
||
Здесь через |
i/t |
fa'J |
обозначен |
мгновенный расход |
сырья. Функция J |
|||||
и параметры |
состояния |
У |
могут |
быть |
векторными, |
поэтому |
|
|||
соответствующие произведения |
нужно понимать, как скалярные |
произ |
||||||||
ведения векторов. |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Функционал |
7~ |
можно представить |
как отношение V |
Щ=- • |
||||||
Обозначим производную |
|
по Т на оптимальной решении как < э ^ ^ т ' ) |
||||||||
Условие равенства нулю этой производной приводят к уравпениы
|
|
|
|
г |
|
|
|
|
|
|
|
(Тб.ЗЭа) |
Выпишем функцию |
£ |
для |
задачи |
о максимуме |
_J7J |
при условиях |
||||||
.(16.88) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
уС+ |
<р/+ |
|
|
< / > |
у |
= |
/ / |
+ |
^ |
у |
|
|
Условия оптимальности |
по |
<£/ |
и |
- V |
совпадают |
с |
(16.6), (16.6), |
|||||
(16.7). Производная же |
|
по |
X вдоль |
оптимального |
решения |
|||||||
(си. замечание 3 в п.14.2) |
равна |
|
|
ti/, |
^ |
т у . |
Таким образом, |
|||||
получим условие |
для выбора |
Т |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(16.40) |
Упражнение .
Как изменятся условия оптимальности при введении ограничения
па расход сырья за цикл |
|
С^Л |
= с?} |
о
Бе Аппарат непрерывного Действия
.Обычно принято считать, что оптимальные значения режимных параметров в аппарать* непрерывного действия постоянны.