Файл: Цирлин, А. М. Основы оптимального управления конспект лекций.pdf
ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 23.10.2024
Просмотров: 75
Скачиваний: 0
/?9
представляет собой то максимальное значение функционала I , которое
можно было бы достичь, |
отправляясь от |
состояния X(-L) |
, |
как |
от |
||
начального. Управление |
U |
(x,-&J - то |
оптимальное |
управление, |
ко |
||
торое необходимо использовать в момент |
, если |
система |
оказа |
||||
лась в состоянии Х(£) |
. |
Таким образом, в отличие |
от |
алгоритмов |
|||
расчета, вытекающих из необходимых условий, здесь оптимальное уп
равление |
находят не |
одновременно с оптимальной траекторией, а |
сна~> |
||
чала решается задача |
синтеза - |
определения управления |
для произ |
||
вольного |
допустимого |
состояния. И лишь, когда расчет |
"поглотит" |
||
в числе |
произвольных |
и действительное начальное состояние Х.0 |
, |
||
для него |
становится известным решение. |
|
|
||
В целом ряде задач знание |
оптимального синтеза |
|
|
||
является целью решения. Например, в задаче о синтезе управляющего устройства*, на входы которого подаются сигналы с датчиков, измеряю
щих состояние |
объекта У |
, а выходом является |
управление 'U , |
|
17.3. Системы линейные |
относительно |
фазовых |
координат |
|
Сопоставим |
достаточные |
и необходимые |
условия |
оптимальности |
для задач оптимизации динамических систем, у которых дифференци альные уравнения имеют форму
X =- M(4JX |
+ /V{4, *J |
(17.10) |
|
Максимизируемый функционал также линеен по J( |
|||
начальные |
условия фиксированы U€- ^ |
. |
|
А. |
Достаточные |
условия |
|
Составим |
функцию Кротова |
|
|
и попытаемся так выбрать функцию <-f j чтобы Q |
не зависела от |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
т |
, |
|
|
|
|
|
|
|
|
wX |
|
при |
любом вначении U. |
Еоли |
это |
удаатол, то отпаден |
необхо |
||||||||||||
димость |
совместно |
находить |
|
^ |
и |
US^ в |
процеоое |
ыакоимивацив |
|||||||||||
по Ц . В данной олучае вадача облегчается линейность» |
£ |
ъаХ . |
|||||||||||||||||
Очевидн.о^ ^ |
нужно |
выбрать |
так, |
чтобы |
|
линейно |
зависело |
о * Х \ |
|||||||||||
причем сумма |
всех |
слагаемых |
з & |
|
, |
зависящих от |
, |
обращалась |
|||||||||||
з нуль. Зададим |
^ |
|
в |
форме |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
тогда |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Выберем |
|
из |
уоловия |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
для |
проиавельного |
|
|
откуда |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(17 |
И ) |
Для |
определения |
£ / |
|
(•£) нужно теперь |
при |
как дом |
удовлетворить |
||||||||||||
условию |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
где |
г |
- |
определяется |
из |
( 1 7 . I I ) . |
При |
af он ^ д о с т и г а е т |
абсолютно |
|||||||||||
го какоимума |
по U |
|
и |
по X » |
а вначит |
найденное решение |
доставляет |
||||||||||||
абсолютный максимум |
I . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
5, |
Необходимые |
условии |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
ВоопольБуеаоя |
для |
решения |
той |
w |
|
задачи необходимыми |
условиями |
||||||||||||
оптимальности |
в форме |
принципа максимума, |
функция |
Гамильтона |
|
||||||||||||||
Уравнения для аоиряяенных переменных
4Н
о краевыв уоловиаа
Уоловиа максимума Н по U о учетом того, что яа воа влагаемые в Q зависят от Ц.,
Сравнивая |
(17.15), (17.14) ш (17.13) соответственно о (17.12) м |
|||
( 1 7 . I I ) , |
видим, что эти уоловия тождественны. Так что в данном |
|||
случае они являются необходимыми и достаточными условиями |
в га |
|||
рантируют |
единственное |
(но величине функционала) |
решение. |
Зто и |
понятно, |
в данном |
оду чае иножеотво функций |
сравнения |
по X |
не ограничено требованием линеаризации, а относительно Е задача
регулярна. |
Таи что |
/ j |
оовпадие? |
о J). |
|
|
|
|
||
17.4, |
Прилаженный |
синтез |
|
|
|
|
|
|||
В § |
14 мы показали, что абсолютный |
максимум |
функционала £ |
|||||||
на прямом |
произведении |
множеств |
и |
V{, ( на |
Vy |
) при |
любой |
|||
функции |
jiCy^J |
больна, |
чан величава |
функционала |
JZ7VV н а |
|||||
искомом решении. Это аа отиооитоя и в |
задачам со |
овяанми |
(17 . I), |
|||||||
В данном |
ояучаа |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
где /2 |
иаеат вид |
(17.6), |
оправеддиво |
неравоыотво |
|
|
||||
Sup |
|
<Sup |
& |
^TfyxJ^On/s, |
|
|
(17 |
и |
||
доказательство которого дано в § 14. Это иеравенотво дает возможность определения I ( У*~ ) пооредогвом оближанв»-: его крайних членов. иооледиее„в свою очередь, можно провидить,
выбирая .
В линейной |
относительно |
У, |
|
задаче |
п. |
Г7.8 |
оказалось |
доста |
||||||||||||
точным |
принять |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
чтобы |
выбором |
|
|
обеспечить |
независимость |
/ € |
, а |
эначит |
и |
|
||||||||||
от |
X и равенотво |
крайних членов |
в (17.16). В более общем случае_ |
|||||||||||||||||
такая |
форма |
задания |
|
позволяет |
обеспечить независимость |
£ |
||||||||||||||
от |
У |
|
лишь |
в |
окрестности^ . |
В [ IS J предлагается задавать |
||||||||||||||
функцию |
t~p |
в |
форме |
некоторого |
ряда, |
например, |
разложения |
по |
||||||||||||
степеням |
У |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
и выбирать |
^ |
|
|
так, |
чтобы |
^f^^na зависел от |
У |
для |
несколь |
|||||||||||
ких |
допустимых |
траекторий. |
Если |
эти |
траектории |
достаточно |
|
|
||||||||||||
"густо" |
покрывают |
и |
функция |
/Q |
не слишком резко |
меняется |
||||||||||||||
при |
изменении |
|
У. |
, |
то |
|
|
по мере |
роота Ш |
будет |
прибли |
|||||||||
жаться |
к |
константе. О доотаточности |
приближения для |
каждого AJ мо |
||||||||||||||||
но |
суди» |
по разности между |
левой |
и правой |
частями |
неравенства |
||||||||||||||
(17.16). функция |
U ^ _ ^ X , " t ^ |
, |
доставляющая |
SocpQ, реализует |
||||||||||||||||
приближенный |
синтез |
оптимального |
управлении. |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
Такой подход оправдан в аадачах, целью решения которых является |
|||||||||||||||||||
именно максимизация |
функционала, |
а |
не получение |
решения |
J^*" |
, |
||||||||||||||
соответствующего иокомоиу максимуму. Ниже в § 22 |
|
мы обсудим |
||||||||||||||||||
разницу между этими двумя видами требований к решению задачи |
|
|||||||||||||||||||
оптимизации. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||