Файл: Цирлин, А. М. Основы оптимального управления конспект лекций.pdf
ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 23.10.2024
Просмотров: 69
Скачиваний: 0
i 9 9
Решение онотемы уравнений (19.5), (19.2) совмество о условием (19.4) представляет в общем олучае трудную задачу.
Остановимся на наиболее изученных линейных интегральных урав нениях, которые зададим в форме
Лия таков формы уравнения условия (19.4) и (19.5) дерепящутоя как
о
Боли в формуле (19.6) интегрирование ведется |
до f , а не до Т, |
||
то справедливы те ве условия |
при |
|
|
t o |
для |
г |
|
6-1,2. |
|
|
|
Интегралы в (19.7) и (19.8) будут вычисляться |
в этом олучае от |
||
4 до Т. |
|
|
|
Для решения уравнений (19,6), |
(19.8) может быть попользован ме |
||
тод последовательных приближений при выбранном управлении !{(-£)<
С алгоритмами последовательных приближений • |
условиями иг охо- |
|
димости можно познакомиться, например, в £"" |
8 |
J . При этом |
нужно учесть, что при подстановке некоторого |
1^j(-t), (19.6) как |
|
и (19.8) принимает стандартную форму уравнения |
Фрадгольма второго |
|
рода. Особенно прост случай, когда 'M.(-t) представляет собой вход,
ajftfc) |
выход |
линей'ой динамичеокой |
системы бен обратных |
связей. |
В этом |
случае |
в последних формулах |
JC, 6 ^«0, условие |
(19.7) |
200
примет вид |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
после исключения Л1 (4). |
Для физически реализуемой |
автономной |
||||||||||
системы |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
причем |
К2 |
( 4 |
, |
Т |
) |
= 0 |
при / |
•?*•. |
|
|
|
|
|
Пример 19*1. Найти ограниченное воздействие |
|
, которое |
|||||||||
за |
фиксированное |
время |
Т |
, приведет к максимальному значению |
||||||||
сигнал М(4) |
на |
выходе |
автономной |
линейной системы |
с |
импульсной |
||||||
характеристикой |
К ( -i |
) |
(задача Булгакова). Запишем |
критерий |
||||||||
I |
= йХ |
(Т) |
в интегральной форме |
|
|
|
|
|||||
Уравнение связи между 'U и |
У |
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
=оfk(r-{J |
Uf/Jc/J Л / |
f |
|
|
|||||
Используя (19.9), получим |
|
' |
|
|
|
|||||||
откуда |
U*- |
Sign JC(T- |
{)\ |
на рис.19.1 |
показал |
переход от |
||||||
к ( 4 ) к ы*П). |
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
19.2. Достаточные |
условия оптимальности |
|
|
|
|||||||
|
Для получения |
верхней оценки, |
а в ряде случаев |
и самого реше |
||||||||
ния задачи (19.1)». (19.2), можно использовать достаточные условия
оптимальности. Пусть, |
кроме |
ограничений на |
^ |
, |
есть еще огра |
|||
ничения на переменные |
состояния |
У 6Г Vx • |
Обозначив через ^ |
век |
||||
тор с составляющими <У , |
2У |
, можно |
записать |
^ |
€ Ц / , где |
|
||
- прямое произведение множеств |
Vx |
и |
Vu |
. Функция |
R |
|||
гон
• для |
задачи (19.1), (19.2) |
отличается |
от выражения (19,8) |
лишь |
|||||||||||
введением |
дополнительных переменных |
в |
|
d(f). |
|
|
|
||||||||
|
|
|
о |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Для |
любой |
функции |
j/ |
( ^ |
1 ) , удовлетворяющей необременительным . |
||||||||||
условиям теоремы |
о. |
/ & |
» |
функционал |
|
|
|
|
|
||||||
не меньше значения |
I на искомом решении, если функция |
R |
принимает |
||||||||||||
максимальное |
значение |
по у £ \ / . |
Если |
же окажется, |
что |
2), т.е, |
|||||||||
сУ |
__и Ц |
|
удовлетворяют |
не только |
ограничениям, |
|
но и |
овязям, |
|||||||
то |
S С "^*) |
= |
I |
( |
|
) , а сама |
пара |
X |
|
1С* |
является |
||||
искомым решением. |
Как это |
делалось |
и выше |
( см. п.п. 7.7, 12.6, |
|||||||||||
17.4), чтобы обеспечить |
лопадаяие_ ^ ^ н а |
Д, |
стараются |
выбрать |
|||||||||||
У |
|
яак» |
чтобы |
максимум |
Q |
по одной |
группе |
переменных |
|||||||
не зависел от значения переменных второй группы. Разбиение же на первую и вторую группы производят так, чтобы одни переменные оп
ределяли другие |
черев уравнения связей. Ив такого |
подхода (см." |
п.17.2) вытекел |
для связей в форме дифференциальных |
уравнений |
алгоритм динамического |
программирования, применимый к широкому кру |
||||
гу задач. Здесь такого |
общего алгоритма пока нет, но для получения |
||||
верхней оценки и для некоторых |
частных задач использование доста |
||||
точных условий |
может |
оказаться |
эффективным. |
|
|
Рассмотрим |
случай, |
|
когда |
и ^ / линейны по |
^-1 |
Функция ё~Мь+А(ич-ХЛ&)-"/%Ф//%Ъ)с/{Г
О
'Z02
Требование независимости /г |
OS |
приводит к соотноше |
ния |
|
|
7~ |
|
|
После |
подстановки найденной |
* / / ( |
) в & у дС определя |
ется |
из условия |
|
|
|
|
• & - |
о « . / ° / " % f c * j t |
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
( I 9 . I I ) |
Область |
V / |
определяется не |
только |
ограничениями |
на фазовые ко |
||
ординаты, |
но и ограничениями |
на управления. |
Полученная не (19.11) |
||||
траектория-является |
решением |
дивь в том случае, если управление |
|||||
dX. , ооответствутацее эй я салу уравнения связи, окавалооь до- |
|||||||
цуотимым. В противной случае |
найден^оэ значение & |
^ Х у ^ д а е т |
|||||
зернгоют.' Оценку решения. Знание У |
и в атом |
случае полезно, |
|||||
так как дает |
представление об обвей |
характере |
решения. |
||||
Рис. '