Файл: Филиппов, А. П. Воздействие динамических нагрузок на элементы конструкций.pdf

Скачать файл
Заказать решение

ВУЗ: Не указан

Категория: Не указан

Дисциплина: Не указана

Добавлен: 23.10.2024

Просмотров: 59

Скачиваний: 0

ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.

(здесь и в дальнейшем у соответствует у/а). Сравнивая перемещение (1.38) с прогибом балки (1.30), находим для Аг (а) и В1 (а) следую­ щие значения:

А ( « ) =

ттттл -1Г Iй № — 8 i ) M « 2 — 6J) +

e d (« )S (u )] + T]J}, (1.39)

 

Д (и)

6

 

 

 

 

 

 

 

 

В г (и) =

2Р

2

(м (и2 — б2) г]2 — t)i

[и (и2 — б2) + erf (и) S (и)]},

£>! (и)

6

где

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(и) = 4 [и (и2 — б2) +

erf (и) S (и)]2 +

4ц1,

 

 

 

 

d (и) = и2(и2 ■— б2)2 -f

ri|,

 

 

 

 

 

в=4 с-''й4г(4 | в,

 

(1.40)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

g2

 

cvPEt

(_Ь_\*

, = Jo (±

у

 

 

1

2 (1 + Vl) PlB [

2 )

’

1,1

В \ 2

)

 

Перемещение

под грузом

 

 

 

 

 

 

 

 

 

М О , о , 0 ) _

 

«

V

 

4 - Р х

 

 

 

со

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x l

 

 

 

 

 

 

 

 

(141)

 

0

2u{[u(irf — 6f) +

ed(u)S(u)]2 + T]|}

 

 

Если

затухание

отсутствует

(ri1

=

0),

то

 

 

 

 

 

„2-

 

~

 

 

S (и) du

(1.42)

 

 

 

 

 

 

 

 

М » , о, о м ' - ^ т И ' 2и + 2ем2 (и2 — 6р S (и)

 

Для случая статического приложения силы (v =

0)

 

 

 

 

.

9

2

 

°°

S2 (u) du

 

иг (х, 0 , 0)

4 (1 — vf)

 

г

(1.43)

л2^

 

Ь

 

J '

2и + 2еы45 г (и)

 

 

 

 

 

 

Легко убедиться, что значение^ (л:, 0, 0) совпадает со значением прогиба для балки-полосы прямоугольного сечения b X h, полу­ ченным в работе [47 ] при малом значении h. Для улучшения сходи­ мости интеграл (1.42) может быть записан в виде

5 (и) — Si (и) -f- S2 (и).

(1.44)

Здесь

 

 

оо

и

 

«*(“)=S~w^¥=SK°(u)du’

(1-45)

 

О У

+

о

К0 («)

 

 

— табулированный интеграл

[12],

где

— функция

Макдо­

нальда;

 

 

 

 

 

 

h (и) = Л

CyYi

 

 

1

(1.46)

(1 - Vl) т [4у2у2 (у, -

Va) -

Д]

sinnxrft.

 

TVo

 

12

Интеграл (1.46) сходится значительно быстрее, чем S (и) (1.44). Для больших значений т подынтегральное выражение стремится

к

значению

(1 — vx) cvk y l,

так

 

как

 

у? —

= св/2 (1 — y j

и

уа

Y2

ТоИнтеграл

(и)

табулирован на ЭЦВМ для различ­

ных значений са =

k 2 в интервале изменения и от 0 до

10 с шагом

Аи — 0,1

(табл.

1).

Для

обеспечения

достаточной

точности шаг

Ат выбирался машиной автоматически из условия 1 — AS5/AS3 <

е,

где

AS3,

AS6 — приращения

интеграла

(щ), вычисленные

по

формуле

Симпсона

для трех

и пяти

ординат.

Признаком

конца

вычислений

являлось

условие

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

^1 (u)k

 

 

8.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Здесь S x (u)k — значение интеграла после k приращений,

(u)k+50—

после k -j- 50 приращений.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Перемещение под силой Р (х =

 

0)

и изгибающий момент в се­

чении балки под ней рассчитывают по формулам

 

 

 

 

 

 

 

uz (0 ,

0,

0)

4 ( 1 — v?)

 

§-/ (е,

8)Р,

 

 

(1.47)

 

 

 

=

я2£,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

М =

- В и г (0,

о,

0) =

4 (^ £iVl)

 

( 4 ~)3 Вт <8-

б) р >

о - 48>

где

 

00

 

 

 

 

 

 

 

 

jf

(8, б) п р и ^ =

0 ,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

Г

 

ukS (и) du

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

J

иj +-(- ей2 (и2 — 6^) S (и)

 

 

 

Ь» (е, б) при k

2.

 

 

 

Для вычисления интегралов (1.48)

их удобно представить в виде

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ukS (и) du

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

+ 8и2 (и2 — 6[) S (и)

 

 

 

 

 

«о

 

 

ukS (и) du

 

 

1

Г

 

ukdu

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

+

 

■о* (и),

(1.49)

 

 

 

j- 8И2 (и2 — 6[) S (и)

 

 

J

 

 

 

 

 

 

2 8

и2 (и2 — 6f)

 

 

 

 

где

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0* (и) =

 

1

 

 

 

 

 

 

ukdu

 

 

 

 

 

 

 

 

2е

 

и (и2— 8[)

[и +

ей2 (и2 — б[) S (и)]

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Второй интеграл, входящий в (1.49), удобно вычислять, исходя из разложений

 

du

1

, +

«

6f

 

—2е .) f«2 (-и2 - 6f)

"2Г

3u;

5“o +

T7и7

+

со

 

 

г

 

 

 

1 Г

du_____ 1

 

__ ,

,

^1

,

2е J Ц2 _ §2 — 2е и0 + З„з "П 5и5 4*

U0

 

 

L

 

 

 

13

 

 

 

 

 

 

Таблица 1

 

 

 

 

cv

 

 

и

0

0,25

0,5

0,7

0,84

 

 

0,855

0,0

0

0

0

0

0

0

0,1

0,34216

0,36441

0,40218

0,47260

0,80376

1,2890

0,2

0,54712

0,59126

0,66632

0,80675

1,4686

2,4391

0,3

0,70196

0,76736

0,87890

1,0886

2,0804

3,5359

0,4

0,82559

0,91146

1,0585

1,3364

2,6572

4,5975

0,5

0,92710

1,0325

1,2140

1,5591

3,2077

5,6325

0,6

1,0119

1,1359

1,3507

1,7619

3,7368

6,6459

0,7

1,0836

1,2252

1,4722

1,9481

4,2479

7,6408

0,8

1,1447

1,3030

1,5811

2,1203

4,7431

8,6195

0,9

1,1972

1,3713

1,6791

2,2802

5,2243

9,5835

1,0

1,2423

1,4315

1,7678

2,4293

5,6927

10,534

1,1

1,2818

1,4847

1,8483

2,5688

6,1494

11,473

1,2

1,3159

1,5320

1,9216

2,6997

6,5953

12,400

1,3

1,3457

1,5742

1,9887

2,8227

7,0310

13,316

1,4

1,3717

1,6118

2,0500

2,9384

7,4572

14,222

1,5

1,394 ;

1,6454

2,1063

3,0476

7,8744

15,118

1,6

1,4146

1,6754

2,1580

3,1507

8,2830

16,005

1,7

1,4323

1,7025

2,2055

3,2481

8,6834

16,883

1,8

1,4478

1,7268

2,2493

3,3403

9,0760

17,752

1,9

1,4616

1,7487

2,2897

3,4277

9,4610

18,613

2,0

1,4737

1,7686

2,3271

3,5105

9,8388

19,466

2,1

1,4844

1,7863

2,3615

3,5891

10,210

20,310

2,2

1,4939

1,8024

2,3934

3,6637

10,574

21,147

2,3

1,5023

1,8169

2,4230

3,7345

10,931

21,977

2,4

1,5098

1,8300

2,4503

3,8018

11,282

22,798

2,5

1,5164

1,8420

2,4753

3,8658

11,627

23,613

2,6

1,5223

1,8527

2,4991

3,9267

11,966

24,420

2,7

1,5275

1,8625

2,5210

3,9846

12,299

25,221

2,8

1,5321

1,8713

2,5412

4,0398

12,627

26,015

2,9

1,5363

1,8794

2,5600

4,0923

12,949

26,802

3,0

1,5400

1,8867

2,5775

4,1424

13,265

27,582

3,1

1,5432

1,8933

2,5937

4,1900

13,577

28,355

3,2

1,5462

1,8994

2,6088

4,2355

13,882

29,123

3,3

1,5488

1,9049

2,6229

4,2788

14,184

29,883

3,4

1,5511

1,9098

2.6359

4,3201

14,480

30,641

3,5

1,5532

1,9144

2,6481

4,3595

14,771

31,386

3,6

1,5550

1,9185

2,6595

4,3971

15,057

32,129

3,7

1,5567

1,9222

2,6700

4,4328

15,339

32,865

3,8

1,5581

1,9257

2,6798

4,4672

15,616

33,595

3,9

1,5595

1,9288

2,6890

4,4999

15,889

34,320

4,0

1,5606

1,9317

2,6975

4,5300

16,158

35,038

14

Продолжение табл. 1

CV

и*

 

0

0,25

0,5

0,7

0,84

0,855

4Д

1,5617

1,9342

2,7055

4,5609

16,422

35,751

4,2

1,5627

1,9366

2,7129

4,5893

16,682

36,458

4,3

1,5635

1,9388

2,7198

4,6165

16,938

37,160

4,4

1,5642

1,9407

2,7263

4,6424

17,189

37,855

4,5

1,5649

1,9425

2,7323

4,6672

17,437

38,546

4,6

1,5655

1,9441

2,7379

4,6909

17,681

39,230

4,7

1,5661

1,9456

2,7432

4,7135

17,921

39,910

4,8

1,5666

1,9470

2,7481

4,7351

18,157

40,584

4,9

1,5670

1,9483

2,7526

4,7560

18,390

41,253

5,0

1,5674

1,9494

2,7569

4,7755

18,619

41,916

5,1

1,5677

1,9504

2,7609

4,7944

18,844

42,574

5,2

1,5681

1,9514

2,7646

4,8126

19,066

43,227

5,3

1,5683

1,9523

2,7681

4,8297

19,284

43,875

5,4

1,5686

1,9530

2,7713

4,8462

19,499

44,518

5,5

1,5688

1,9534

2,7743

4,8619

19,711

45,156

5,6

1,5690

1,9544

2,7772

4,8770

19,919

45,789

5,7

1,5692

1,9550

2,7798

4,8914

20,124

46,417

5,8

1,5694

1,9556

2,7823

4,9052

20,327

47,040

5,9

1,5695

1,9561

2,7847

4,9185

20,523

47,658

6,0

1,5696

1,9566

2,7868

4,9310

20,721

48,271

6,2

1,5699

1,9574

2,7907

4,9546

21,103

49,484

6,4

1,5700

1,9580

2,7941

4,9762

21,474

50,678

6,6

1,5702

1,9586

2,7971

4,9959

21,834

51,853

6,8

1,5703

1,9591

2,7997

5,0140

22,182

53,010

7,0

1,5704

1,9595

2,8020

5,0305

22,520

54,149

7,2

1,5705

1,9598

2,8040

5,0457

22,847

55,271

7,4

1,5705

1,9601

2,8057

5,0595

23,165

56,376

7,6

1,5706

1.9603

2,8072

5,0723

23,473

57,463

7,8

1,5706

1,9605

2,8086

5,0839

23,772

58,534

8,0

1,5707

1,9607

2,8097

5,0945

24,061

59,588

8,2

1,5707

1,9608

2,8108

5,1043

24,342

60,626

8,4

1,5707

1,9610

2,8117

5,1133

24,614

61,648

8,6

1,5707

1,9611

2,8124

5,1214

24,878

62,655

8,8

1,5707

1,9611

2,8131

5,1289

25,330

63,646

9,0

1,5707

1,9612

2,8137

5,1358

25,982

64,622

9,2

1,5708

1,9613

2,8143

5,1420

25,623

65,582

9,4

1,5708

1,9613

2,8147

5,1479

25,856

66,529

9,6

1,5708

1,9614

2,8151

5,1532

26,083

67,460

9,8

1,5708

1,9614

2,8155

5,1580

26,302

68,378

10,0

1,5708

1,9614

2,8158

5,1625

26,515

69,282

15

 

 

i

т

f

т

f

 

Е й

Бо

 

 

cv = 0,25

#

 

дан /см *

=

0

 

0,50

100

9

1,555

3,284

1,688

3,538

1,942

3,801

100

15

1,442

2,339

1,558

3,194

1,778

2,670

100

250

0,908

0,400

0,956

0,403

1,060

0,426

200

9

1,714

5,208

1,879

5,676

2,179

6,144

200

15

1,597

3,707

1,734

4,002

2,001

4,310

200

250

1,024

0,600

1,086

0,615

1,212

0,651

300

9

1,810

6,819

1,994

7,439

2,327

8,140

300

15

1,690

4,856

1,850

5,280

2,141

5,709

300

250

1,097

0,769

1,168

0,786

1,309

6,845

500

9

1,938

9,570

2,144

10,614

2,521

15,587

500

15

1,810

6,819

1,993

7,487

2,326

8,135

500

250

1,194

1,064

1,277

1,112

1,441

1,685

1000

9

2,102

15,274

2,352

17,017

2,798

18,726

1000

15

1,978

10,800

2,197

12,015

2,591

13,141

1000

250

1,334

1,669

1,438

1,770

1,637

1,896

2000

9

2,272

23,971

2,567

27,240

3,091

30,787

2000

15

2,147

17,082

2,407

19,252

2,872

21,209

2000

250

1.482

2,640

1,612

2,836

1,952

3,061

Согласно табл.

1,. на ЭЦВМ по формуле Симпсона для функции

S (и) вычислены значения

интегралов f (е,

б), т (е,

б).

Значения

65 = Т Г Ц

си£\

=

бlcvE 1 • 10-

2 (1 -Н vx) В

 

 

 

взяты в широком диапазоне изменения в и 6: s0

= 7, 5; 9; 11; 15;

1000; 4000; 6q = 11,5; 10,5;

5,8; 4,7; 3,0;

2,0; 1,0.

В расчетах модуль

упругости основания Ег принимался равным 100; 200; 300; 500; 1000; 2000 дан!см2, (v: = 0,3).

Принимая

жесткость рельс согласно существующим гостам

и предполагая,

что ширина основания b — 270 см, находим пара­

метры е0 и 6о. Большие значения е0 соответствуют случаю, когда

рельсы положены на железобетонные

лежни.

В табл. 2 приведены значения / (в,

б), т (в, б) для е„ = 9; 15;

250. На рис. 2 и 3 показаны графики функций/(в, б), т (в, б) для ука­ занных выше значений в0 от 7,5 до 4000 и различных величин Е г.

Пример. Предположим,

что

два рельса жесткостью В =

2

•2016 £

лежат

на основании шириной Ь =

270

см, плотность которого рх =

1,7 • Ю—3 кг/см3,

коэффициент Пуассона v1 — 0,3. Для этого случая ед

15

х2

=4,7 X

X IQ-4 cvEv

 

 

 

 

 

16

 

 

 

 

 

Таблица 2

 

m

f

m

f

1

m

 

0,70

Cv =-■ 0,84

 

 

=

0,855

 

 

 

 

 

2,391

4,215

4,207

5,396

6,428

 

6,390

2,168

2,944

3,747

3,240

5,684

 

4,428

1,444

0,476

2,002

0,598

2,953

 

0,749

2,720

6,875

4,912

8,918

7,586

 

10,580

2,472

4,789

4,375

6,146

6,699

 

7,273

1,436

0,742

2,353

0,904

3,501

 

1,107

2,930

9,160

5,379

11,991

8,362

 

14,261

2,666

6,375

4,789

7,342

7,371

 

9,765

1,560

0,920

2,587

1,173

3,872

 

1,370

3,212

13,103

6,030

17,497

9,463

 

20,837

2,927

9,149

5,365

11,959

8,329

 

14,204

1,731

1,196

2,918

1,702

4,406

 

1,903

3,628

21,482

7,045

29,106

11,219

 

35,045

3,313

14,940

6,258

19,875

9,833

 

23,728

1,991

2,090

3,445

2,688

5,282

 

3,060

4,082

35,061

8,243

48,738

13,369

 

59,383

3,736

24,380

7,300

33,120

11,631

 

39,833

2,598

3,508

4,090

4,465

6,409

 

5,075

Перемещение (1.47) и изгибающий момент под силой Р (1.48) будут

 

иг (0, 0, 0) =

2,736

10—3/ (е, б) Р,

 

 

 

Ег

 

 

 

 

6.052Е

 

.

 

 

^изг

10~4т (е , 6)Р .

 

 

Е 1

 

 

 

 

 

 

 

Т а б л и ц а 3

 

 

 

 

 

CV

v, км /ч

uz (0, 0,

0)

M„3rx io -6.

о , дан [см г

нсм г

 

 

 

 

 

 

 

 

0

0

0,2184

 

2,355

473,1

0,25

121,1

0,2372

 

2,543

531,0

0,50

171,23

0,2737

 

2,739

550,3

0,70

202,6

0,3382

 

3,043

611,3

0,84

221,8

0,5985

 

3,905

784,5

0,855

223,9

0,9300

 

4,261

856,1

В табл. 3 приведены значения перемещения иг и напряжения о для указанных в0 и бо при различных значениях с0. Скорость пере­ мещения нагрузки Р при рх = 1,7 • 10-3 кг1см3

и = 1/ ^ ф - = 171,23 V КГ % Е Х [км/ч].

*^1

Как видно из табл. 3, с возрастанием скорости v прогиб рельсоь значительно увеличивается, а напряжение о возрастает медленнее, однако для принятого значения Ег = 200 дан/см2 оно увеличи­ вается в 1,8 раза.

2 3 -2 9 2 5

I ПмУЦ. ,0 i

."‘jL q

1 БИБЛИОТЕК*

Смотрите также файлы