Файл: Филиппов, А. П. Воздействие динамических нагрузок на элементы конструкций.pdf

Например,

прогиб балки под грузом без учета силы тяжести

©о

Уо (О,

т) = ен j ф (a) da = егтр0.

В данном случае напряжение балки под грузом

оо

оо

— В ухх’ (0, т) = Belx j

а 2!!? (а) d a = ~

Beix (М + N ц0) j

.

—00

—со

Трудность

заключается

в вычислении

интегралов

Ц e~ '(a)d a и

J аЮ~' (a) da.

(1.66)

—ОО

— оо

Мнимая часть функции

0(a)

=

а 4 — 8г (1 — a )2 +

8?k~1 (а) +

+ i62 (1— a), Im k (а) — 0

при а

=

1 обращается в нуль, но веще­

1 — v

sin р

Ц e 2cos ах>2dx > 0 ,

£ ( ! ) =

ф = (1 — V)

я

J V W T Г

о

(1.67)

следовательно, 0 (1) > 0,

и в данном случае 0

не имеет веществен­

ных корней. Формула (1.67) получается в результате интегрирова­

ния по контуру в комплексной полуплоскости; k (а) будет

прини­

мать комплексные значения при — 1 < ;— а2/1 — а2< ;a - < a 2/l

+ a2 <

< 1, если скорость движения меньше скорости

упругих волн, и

при значениях а вне

указанного отрезка, если

скорость движе­

ния больше скорости

упругих волн.

оо

k{a) =

- ^ a \ { 1 -

a

)2

J

X

Vi(«.

P) dP

( 1.68)

P2 -j- a2-----Y

[ l ~ aY

■(p2 + a2) yx (a, P) y2 (a, P)

находится

путем интегрирования

в

комплексной полуплоскости

Im р >• 0 .

Выражение, стоящее

в

знаменателе подынтегральной

функции,

представляет уравнение Рэлея относительно (Р2 + а 2) х

диуса р (при р -v 0)

и делая

замену переменной интегрирования

р =

р^Ф 4 - pfe,

получаем

П

lim

Г - i n(P ^ + Pfe)

s(cc, ре'ф+

pft) piei(S>dq> = 0,

P-^og1

+

так

^

a

sin (pelq>4- 6b)

конечно.

как при любом

рА

отношение —

— —— всегда

^

Р*)

Ре ф + Pft

Знаменатель е (а, ре1® +

не обращается в нуль в связи с тем,

что точки ветвления

и полюсы подынтегральной функции

никогда

не

совпадают.

Р1 =

— а 2 +

6?(1 — сс)2,

s =

1 , 2 , 3 ,

(1.69)

а точки ветвления

pi =

—а 2 + а| (1 — а )2,

k = 1, 2.

Известно,

оо

f

а)2j

"V— Р2 + ct2 — а? (1 — a)2 dp

X

■Р2 + а2 -----± ( 1 - а ) 2

- (а2 —Р2) Vi (а, ф) у2 (а, ф)

К (а) = 2л 2

lkRes F фк, а) — if (а),

к

где

Res F (Pft, а)

— вычет

подынтегральной функции

в

точке

Р*,;

= 1, если

полюс в верхней полуплоскости; %k =

1/2,

если

полюс на вещественной оси; Ejfc

= 0 , если полюс в нижней полуплос­

кости.

порядка,

кроме

точек

а =

±

Ьг (1 ±

b-j)~ 1,

где

k

( а

) оо.

В

этих точках 0 (а) = а 4 —

(1 — а )2 +

гб2 (1 — а).

Полюсы подынтегральной функции находим по формуле (1.69),

я

bs — следующим образом:

bt =

a l[[ - ^

+ zsl) +

-1

izs2

(s =

1,

2, 3).

Здесь zx =

zn +

iz12 =

и + v (s — 1),

l (и + v) ±

i,

/ 3 (и — v)

(s =

2,

3),

и = V — q + V d,

v = V

-

q - V

d

,

16 (32v3 — 16v2 +

21v — 5)

4 (56v — 11)

27(1 — v)2

2 7 ( 1 — v)

‘

После

замены a =

ы/1 —

и2, \u\ <

1

интегралы

(1.66)

стано­

вятся собственными с интервалом интегрирования

{— 1,

+ 1} и

могут быть вычислены на ЭЦВМ.

+

1 _ 2 v

=

а^{^дГ~ v ~dx[)

и’

(!-73)

ААда +

и- щ ) 2 w = / (* i.

* 2.

t).

(1.74)

Здесь v — коэффициент Пуассона для

полупространства; съ с2 —

скорость

продольных

и

поперечных

волн

в

полупространстве;

а — коэффициент Пуассона для

пластинки;

G — модуль сдвига

для полупространства;

Е х — модуль

упругости

для

пластинки;

D — цилиндрическая

жесткость

пластинки;

f

(хх, х2,

t) — интен­

сивность

внешней нагрузки;

а\ ■

«1 .

Pi^Po

‘оРо ’

X l------- D

*

/(*1.

*2. 0 =

<7l(*2>

k) Qi (*i> к)

iat,

d2w {хг, 0,

t)

к9е‘

’

< _ 0

■щ К {хх,

х2,

t).

(1.75)

Здесь В ххХ2 {хх, х2,

t) — реактивное давление; q( (xit lt), i

— 1 ,2 —

функция

распределения

нагрузки;

х 2 =

PIJD\

х 3 =

m llpllD ;

оо

qi (х,,

//) =

4 - j

(/ = 1,

2).

(1.76)

— СО

Для сосредоточенной нагрузки

СО

qk (xk,

/*) =

6 (**) = 4 е .( *'р***ф *

( * = 1 .

2).

(1.77)

— со

оо

* 2> 0 =

еш

со2 (а,

р) eHcuci+fa) dadfl,

(1.78)

ОО

w(xx, х2, t) =

еш

( j ф (а,

р) g<(a*i+P*2) dadfi.

(1.79)

—оо

/(* 1 , *2, 0 = ^ 1 1

sin а/,/2 sin р/2/2

(х2 + Х3со2р0) — х4со2 (а,

Р) X

зх2а|3

X

dad$,

(1.80)

СО

Н-о = ^ Ф ( а > P )d ad P-

(1.81)

2

00

и = е-!*‘ 2

\( ф* (a, Р) et{a xM ~y^ dad$,

(1.82)

*=i

со

w == eIt0*

j j ф (сс, Р)

dadfi.

(1.83)

—оо

На границе контакта пластинки

и основания х3 =

0 предпола­

«3(*1> *2. 0. *) = И *1 . *2» 0-

О-84)

Для нормального смещения предполагается, что

a s (xlt

х2, 0,

t) — — (х1; х2, 0 -

О-85)

Решение уравнений

(1.73)

в случае отсутствия

касательных

[44]. Необходимые в дальнейшем смещения и напряжения

на по­

верхности полупространства

представляются в виде

ОО

«з (лу, х2, 0,

t) =

ela>t j

\в (а,

Р)ф (а, $) ei{aXi+&xJ dad$,

(1.86)

со

а3 (ду,

х2, 0,

t) =

eiat [

ф (а, р) e‘(a*i+P*2)dadp.

(1.87

,

я.

.

Vi(P2- “)Тз(Р2- «) + Yo(P2>«)Vi (P2>a)V2(P2. а)

,

в (а, Р) = — (1 — v )----------------

5------------ -------------------------------------

? 4 (Р 2 ' “ ) [75 (Р 2 > + fe2 [“ [1

Yo =

P2 + a 2>

Y2 = Р2 + а 2 — а2 (ы — ecu)2

( fe = l, . . . , 5 ) , (1.88)

b (а) = <зв (со — ап)2,

а\ =

1/2а2,

а2 = хп а2, а\ = х21а|,

а6 =* х22а\.