Файл: Филиппов, А. П. Воздействие динамических нагрузок на элементы конструкций.pdf

Скачать файл
Заказать решение

ВУЗ: Не указан

Категория: Не указан

Дисциплина: Не указана

Добавлен: 23.10.2024

Просмотров: 65

Скачиваний: 0

ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.

Рис. 2.

Рис. 3.

2*

Из приведенных данных следует, что скорость перемещения силы при учете инерционности полупространства (упругого основа­ ния) существенно влияет на динамические напряжения и смещение рельсов.

Установившиеся колебания бесконечно длинной балки под действием масс и периодических сил, движущихся с постоянной скоростью

Пусть на движущуюся и подрессоренную массы действуют перио­ дические силы

P k (t) = P hei(pt+Xk>

( k — \, 2).

На границе контакта упругого полупространства и балок на свободной поверхности отсутствуют касательные напряжения, по­ этому

 

ТлглС*!. * 2.

О» 0

=

Т*2* .(*1> х2, 0, t) — 0.

(1.50)

При х3 =

0 нормальное

напряжение

 

 

 

 

 

сг3(*1,

*^2»

t) =

 

Go

t),

|%2 1^

Al/2»

 

или

a3 (xv

x2, 0,

t) =

0,

 

 

|* 21>

У 2

 

 

 

0, t) =

— Go(x1, t)h(x2,

 

 

 

a3(*i, x2,

/x),

(1.51)

где h (x2,

lx) = 1

при

\x2\<

I J 2, h

(x2,

T) = 0

при

|лг2| > IJ2\

Z1Go (a:1, t) — давление грунта на погонную единицу длины балки. Используя интегральные теоремы Фурье, запишем интеграль­ ные представления для h (х2, /,), а также известное интегральное

представление

для

необходимой в

дальнейшем

дельта-функции

б (л^) в следующем виде:

 

 

Ь(ХЯ, О =

,

р

sin P -| -

[ С

J eiax'da.

—

J

-----p-=-e,p**dP,

S (x J =

Нормальное перемещение на границе контакта под балкой для

х2 = 0 равняется прогибу балки, поэтому

 

и3{х1г 0, 0, t) = y(xu t).

(1.52)

Задача рассматривается в безразмерной подвижной системе координат хг =%p/v — т, х2 = r\plv, х3 = tp!v, т = pt (£, т], g — координаты неподвижной системы) и сводится к решению совместной системы дифференциальных уравнений движения полу­ пространства, колебаний подрессоренных масс и балок:

 

A« + T = - 2 7 VVU==°2

_д____д

 

U,

(1.53)

 

дт

дхг

 

 

 

дгг

+ ех

+ е22 = 83 +

г ^ х+ ^

—

дгу

(1.54)

йт2

 

 

 

 

~д%*

X!= 0

20

&У

 

 

У + Ь'.

 

дхх У =

 

дх£ + «i

дх

дхх

дх

 

б(хх) (63ег<т+Ч) —

64 U

+

б5 +

б6г) — б,а {хъ т).

(1.55)

 

 

 

*!= 0

 

 

 

Здесь А — оператор

Лапласа;

V — набла-оператор; а| =

u2cjT2>

k = 1, 2; ck — скорость упругих волн; v — коэффициент ПуассонаЗначения коэффициентов е и 6 следующие:

-Рз

1

2т 2р

’

е2

2тгр'2‘

 

/ =

Ь е

,

61 =

Pit»4

х

 

V

 

 

Вр2 ’

2

s

2m1v3

 

б5 =

2mig'tt2

 

°4 “

Вр

>

fip2

’

о _

г

с

 

0

1^

4

1 <0

 

Р^4

к

 

Вр3 ’

° 3

 

«

6 Вр3 > °7

т 2г»р ’

2P,t>

Вр2 ’

гРО/,

Вр4

где G — модуль сдвига; р — масса полупространства на единицу объема; р, — масса балки на единицу длины; к2 — жесткость подрессоривания; р1; ц2 — коэффициенты затухания; В — жесткость (для двух балок В = 2EI)\ z (т) — относительное смещение под­ рессоренной массы. Множитель при 6 (х,) учитывает действие сил Рк (т), k = 1, 2, сил инерции движущейся массы т1, инерцию под­ рессоренной массы т2 и влияние силы тяжести пгtg. Член 67а (х1г т) в правой части уравнения (1.55) учитывает давление грунта на погонную единицу длины балок (инерционность полупространства).

Учет сил тяжести

и m2g

приводит к необходимости искать

решение системы (1.53) —

(1.55)

в виде суммы решений:

и = ик + и 0, у = У1 + у0, г = гг +

где

 

 

00

 

 

 

иг =

S

 

 

 

 

2

е!Т

f f (pft (а,

Р)

 

 

 

k=\

 

**

 

 

 

 

K 1

--00

 

 

 

Ко =

2

 

Фм(а,

Р)

 

 

 

k-1

 

 

 

00

 

оо

 

 

 

 

г/х = е,т J

ф (а) eiax<da,

г/о=

(

 

—00

 

 

 

8

 

 

 

 

 

М

1

 

 

 

z1= ЛегЧ,

to

 

 

 

О II

"

 

СО

 

 

 

ОО

г0, а =

+

<4 .

V*.*»

 

(1.56)

dad$,

 

(1.57)

ф0 (cc)eiax>da,

(1.58)

 

 

(1.59)

а, = е‘т С а» (а) eiaXida,

0Q==

\ со0 (а) eiax'da,

(1.60)

— со

 

— со

 

s — число неизвестных функций yk

(а,

Р).

 

Подставляя выражения (1.56) и (1.57) в уравнения (1.50) и (1.53), получаем

[yl — а 2 — Р2 + а\ (1 — а )2 —

Ф« —

 

21

еф

_

^

Ф,з = О,

 

 

 

1 — 2v ф*2 ‘

 

 

 

1 — 2v

 

 

 

 

 

y l - a 2- P 2 - f a2 ( 1 - a y

1 — 2v Ф<г2'

aP

„

 

1 — 2v Ф« “

( 1. 61)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

vl

 

 

 

vl — a 2 — P2 4- «1 (1 ■—*a)2 +

i _

2V

Фм-

 

 

taTfc

g

>-Pt*

m

= 0

 

 

 

1 _ 2 v

Ф*1'

1 — 2v

 

w>

 

 

2 (Л*фм — V/гФы) = °-

2 (Ффм — 7аФи) =

°-

0 -62)

fe=i

 

s=i

 

 

 

 

 

Из условия нетривиальности решения системы (1.61) линейных

однородных уравнений относительно

сры

находим ук и

s: у* =

= a 2 + Р2 — af (1 — а )2, & = 1, 2,

s =

2. Колебания

затухают

по мере увеличения глубины, поэтому для полупространства х3 =

=

0 выбираем

Re ук ;>

0.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Фkl

Из

системы

(1.61) — (1.62) определяем

неизвестные

функции

(a,

Р),

 

выраженные

через

 

некоторую

произвольную

функ­

цию

(a,

 

Р):

ф13 (а,

Р) =

—

(а2 +

Р2 +

 

yl)

[a2 - f

Р2 +

V? +

+

а? (1 — а )2]-1

фг (а, Р), ф23 (а,

Р)

=

фх (а,

 

Р). Аналогично этому

из

уравнений

(1.50)

и (1.53) находим ylo =

a 2 +

Р2 —

afa 2,

k =

=

1, 2,

s =

2

Re vfto >

0,

(ф13)0

=

-

(a2 +

 

P2 +

T20) (a2 +

P2 +

+

У10 +

а 2н?)

1 (Ф2з)о.

№23)0

=

Фю (a .

P)-

 

 

 

 

 

 

Нормальное смещение и напряжение на поверхности полупро­

странства

х3 =

0 можно

теперь

представить

в следующем

виде:

 

 

 

 

 

 

 

00

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

а3 (xlt

х3,

0,

т) =

G j

[ [ф (a, Р) ё:%+

ф0 (а,

Р)]

 

dadfi,

 

 

 

 

 

 

 

—ОО

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

СО

 

 

 

 

«3 (хъ

х2, 0,

т) =

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

=

55 [ф

 

Р )8 (“ • Р) е<х +

Фо (а.

Р) е0 (а.

Р)1 ei<ax^ x^ dad$,

где

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(1 — а)2 <ц

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

8(а, Р) = ----z---- X

 

 

 

 

 

X

 

 

 

 

 

 

У^Р2 + а 2 — а2 (1 — а)2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2)]/|32

 

 

 

 

 

 

 

Р2 +

а2^

( 1- а )2

- ( Р 2

 

■а[ (1 — а)2 X

 

 

 

 

 

 

 

 

X У^Р2 +

а2 — а\ (1 — а)2>

 

 

 

22

ее2а22

е0(а, Р) = л X

V Р'2 + а 2 (1 — а,2)

X г

Р2 + а 2 [ 1 — _JL — (Р2 + а 2) V Р2 + а 2 (1 — fl?) V $ 2 + а 2 (1 - а%

Ф (а, Р) и ф0 (а, Р) — произвольные функции. Обозначим

 

 

со

 

. „

I

 

 

К (а) --------- l- j

е (а, р) ■

<Ф,

 

 

 

 

оо

 

sin р -

 

(1.63)

К 0 (а)

 

 

 

 

 

"ST I

8о(а -

Р)

 

 

 

0 (а) =

а 4 — бх (1 —I а )2 + t62 (1 — а) -f- б Д

1 (а),

0О(а) =

а 4 — б^ 2 ■— гб2а -f- бДо"' (а),

 

 

 

оо

 

 

 

 

 

р0 =

I ф (а) da,

М0 =

(е2 +

щ —

I)-1 ,

 

 

— оо

 

 

 

 

(1-64)

М =

б3еа ‘ -f- 8es4e!'k‘M0,

N =

 

б4 бв7И0.

Подставляя в (1.54) и (1.55) выражения (1.58) — (1.60) для про­ гиба балки и относительного смещения подрессоренных грузов, получаем

Л = М0 (г4е‘х* +

ц0),

В = е3е ^ ,

(\.65)

Ф (“ ) = 1 Щ * ) (М + N Vo)'

(«) =

2:[() '(а)- (б5 +

66< W ).

В выражениях (1.65) использованы граничные условия (1.51) и (1.52) для определения неизвестных функций

ф (а, р) = — 1/я со (сх) р—1 sin р//2,

ф0 (а, Р) = — 1/я со0 (а) Р-1 sin р//2,

со (а) = ф (а) К Г Х(а), со0 (а) = ф0 (а) К а Х(а).

Значения ц0 находятся из интегрального выражения (1.65) следую­ щим образом. Проинтегрировав (1.65) по а от —оо до оо и учтя

(1.64), получим Цо = Мщ (1 — NvoT1, где «о = ^ j e~l (a)d a .

Без учета сил тяжести mxg и m2g решения щ, у0, г0 равны нулю. Полученное решение позволяет определить прогиб балки, на­ пряжения в балке, смещения и напряжения полупространства.

23

Смотрите также файлы