Файл: Филиппов, А. П. Воздействие динамических нагрузок на элементы конструкций.pdf

Скачать файл
Заказать решение

ВУЗ: Не указан

Категория: Не указан

Дисциплина: Не указана

Добавлен: 23.10.2024

Просмотров: 62

Скачиваний: 0

ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.

Me =

2

 

(5 . 19)

Me*. (2) /р-ьн-А (0>

 

6 = 1

 

 

 

/П

 

 

Pz — 2

P'k (Z) f p + q +

s + k (t)

( P +

q +

s + m = N ) .

Здесь fk (t) — варьируемые

функции;

Mik (z), M4k (z), MBu (2),

Pzk (2) — заданные базисные функции.

Базисные функции для каждой аппроксимируемой величины должны быть попарно линейно независимыми, составлять полную систему функций для данной задачи и удовлетворять граничным условиям для сил и моментов [48]. Хорошие результаты дает ис­ пользование базисных функций в виде

(5.20)

Быструю сходимость и устойчивость вычислительного процесса обеспечивают базисные функции в виде ортогональных тригоно­ метрических полиномов

Mlk

Mx\U

(k = 2, 3, . . .)

Меи

Pz U

исобственные функции для консоли постоянного поперечного сече­ ния

sin %и

(k = 2п — 1),

М\и — Мп& — 1

(k = 2п),

где

^

=

1,875104, Х2 = 4,694098,

= 7,854757,

= 10,99541, ...

...,

\

=

(2k — 1) it/2.

 

 

На практике обычно представляет интерес потеря динамической устойчивости стержня в потоке по низшей форме колебаний. При расчетах можно ограничиться четырьмя-пятью базисными функ­ циями для каждой аппроксимируемой величины и использовать систему базисных функций (5.20), обеспечивающую наименьшее машинное время при расчетах.

Перемещения и их производные с помощью зависимостей (5.7)

выражаются

через

аппроксимируемые моменты и усилия:

 

 

 

u = = i - w

dz’

o = = i i

r d2’

 

 

 

 

 

о

 

 

о

 

 

дн

 

=

е^Мг, (0,

t) cos а (0) —■ejMg (0,

t) sin a

I

 

 

(0) +

- f

C(

Mr

cos a

 

M

\

 

 

 

J

^

Ej

------g p -

sin a J dz,

 

 

 

dv

 

=

e\Mi (0,

t) cos a (0) +

(0,

f) sin a

(0) +

dz

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

+

К

 

 

■cos a

-J-

M,

■sin a jdz,

 

 

(5.21)

 

 

E L

 

 

 

 

 

 

&

г

 

 

 

 

 

 

 

 

Me

 

 

 

 

— e^Me (0, t) + ^

dz.

 

 

 

aid.

 

 

 

 

 

&

 

 

 

 

 

 

 

w

 

 

-r%- dz.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

EF

 

 

 

 

 

 

 

Перемещения, найденные по зависимостям (5.21), удовлетво­ ряют геометрическим условиям закрепления стержня. Таким об­ разом, в процессе расчетов удовлетворяются как силовые, так и геометрические естественные граничные условия, что способствует

лучшей сходимости

метода.

 

В результате использования зависимостей (5.19) и (5.21) выра­

жения для вариаций

работ внешних и внутренних усилий при­

нимают следующий вид:

 

 

6П1 = 1 | с\пШ п,

 

k = l

k ~ \

 

6L B = i

2

 

k— l n = 1

 

ST = 2

i Alnfkbfm

 

k==]

n= 1

I I *

163

 

=

2

й B l { f k8fn- f k8fn\

 

^

k = l

n = 1

8La = 2

2

( А Ш 1 + B U k8fn + C U kbfn).

k=\

n=

1

 

Коэффициенты в этих зависимостях определяются с помощью инте­

грирования. Коэффициенты Аакп,

Вакп, Скп

в

общем случае

явля­

ются комплексными.

Вариационное уравнение

(5.18)

приводится

к

системе

дифференциальных

уравнений

 

 

 

 

 

 

 

 

(Akrifk +

Bknfк "Ь Cknf) =

0

 

 

(5.22)

 

 

 

(я = 1, 2. . . . . .

 

 

 

 

 

 

где Акп =

Ain + Akn,

Bkn =

Bfn + Вкп +

В кп;

Ckn =

С1кп + Скп.

С

помощью подстановки

fk = Фк, fk =

<S>N+k система

(5.22)

при­

водится К виду

2N

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

(О,пФ -б ы Ф )

=

0

 

 

 

(5.23)

 

 

 

Т "

=

1,

2,

.. ., 2N),

 

 

 

 

 

 

. где

 

 

I 1

при k =

п

 

 

 

 

 

 

& k n

— | q прИ ^ ф П'

 

 

 

 

и задача сводится к проблеме собственных чисел и векторов матрицы

 

Цсг’в

с-1лI

 

 

 

D ~

I

Е

О

I '

 

 

 

Элементы матриц А, В, С являются коэффициентами Акп,

В кп,

Скп.

Варьируемая функция fk

имеет вид

fk =

(ак + ibk) еи ,

где

X —

= е + i со; со — частота

колебаний;

е — затухание

в

системе.

Критическая скорость потока соответствует е = 0. Для

различ­

ных значений скорости

Vn

отыскивается

собственное

число

к.

Когда меняется знак величины е, критическое значение скорости

потока VK уточняется с помощью линейной

интерполяции.

Переме­

щения, моменты и усилия, соответствующие VK, — комплексные ве­

личины,

например

Mt =

(Me Re - f

im) еш , M|,Re = 2

Mikak,

N

 

 

 

 

’

k = \

Mgim = 2

Щ Фь.

Аналогично и =

(wRe +

i«Im) еш . Более удобны

k=i

 

 

 

 

 

 

 

для пользования модули и фазы искомых величин

 

 

 

W t 1 =

V АЛ! , Re

АЛ|,1т >

 

 

 

 

 

м£,lm

 

 

 

 

 

ф£ =

arctg м

i .R f

 

 

(5.24)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

WRe + Min

 

 

 

 

Фи =

arctg Mm

 

I

 

 

 

 

 

Щ е

 

 

 

 

 

 

 

 

 

164

Распределения напряжений удобно вычислять по упрощенной формуле

ли

м„

Ма

— г2

(5.25)

1 + k Edt

 

■I + то‘

G Г|

причем ст2 также является комплексной величиной. В результате расчета определяется критическая скорость потока VK, соответст­ вующие ей частота колебаний стержня <ak, формы колебаний, рас­ пределение моментов и усилий и формы напряжений в заданных точках. При этом определяется сдвиг фаз между различными ве­ личинами.

Влияние кориолисовых сил на свободные колебания и динамическую устойчивость стержней в потоке

Кориолисовы силы вызывают связь различных видов колебаний даже в случае незакрученного стержня несимметричного попереч­ ного сечения. Пусть угол установки незакрученного стержня (угол между осью х, параллельной оси вращения, и одной из главных осей инерции £) равен а 0. Стержень имеет двусимметричное попе­ речное сечение. Депланация поперечного сечения при кручении не учитывается. Тогда на основании выражений для потенциальной и кинетической энергии вращающегося стержня после некоторых преобразований могут быть получены уравнения колебаний в виде

 

д

 

г-, г,

dw \

г- d2w

 

pQ2Fw —

 

 

 

dz

 

E F - w ) - p f

dt2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

—

 

I dov

 

ди*

 

 

\

 

(5.26)

 

 

(~ g p cos a 0-------sin a g)

= 0,

 

 

Л2

/

 

d^v

\

d^v

 

 

 

 

 

 

 

- a \E h

(j£r~) + PF ~dF~ — PfQ2 К cos2 “o

 

 

■щ cos a 0sin eg — pQ2 - J -

Г g v

 

\

 

 

 

 

 

 

\ F(R +

z ) dz

 

 

•— 2Qp

r

dw

cos a 0 - f

д

I r

 

50

1sin a, o] = 0,

(5.27)

 

F - ^ r

 

\11

 

dt

 

 

 

 

dt

 

 

 

 

 

 

 

 

 

{e i .

d2u^

+ PF-

 

 

■pFQ2 (щ sin2 a 0—

 

dz2

 

dt2

 

 

4

 

 

i

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

du

 

 

 

 

 

■vn cos a 0 sin a 0) — pQ2

 

 

j

F (R +

z) dz

+

 

dz

dz

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

+

2Qp

^

ow .

 

■

 

 

cos a,

= 0,

(5.28)

)

F - a f - s m a 0

dz

 

 

 

 

 

d20

 

 

 

№

 

 

 

\GI.

- Р ' р - Ж

+ Р

 

 

 

+

 

 

 

D i2"

 

 

 

 

 

165

Смотрите также файлы