Файл: Филиппов, А. П. Воздействие динамических нагрузок на элементы конструкций.pdf

бкр.йых

с учетом затуханий токов к. з. штриховыми линиями, с учетом зату­ ханий токов к. з. и демпфирования в механической системе — штрих-пунктирными линиями. Логарифмический декремент коле­ баний системы принят равным 0,3. Эта величина приближенно получена в результате эксперимента, поставленного на натурном турбоагрегате. Графики наглядно иллюстрируют влияние различ­ ных видов затуханий на величину максимальных напряжений в лопатках. Приведенные расчеты соответствуют наиболее тяжелому, с точки зрения воздействия на механическую си.тему, режиму трех­ фазного к. з. на шинах генератора.

Г л а в а п я т а я

ВОЗДЕЙСТВИЕ ПОТОКА НА КОЛЕБАНИЯ ВРАЩАЮЩИХСЯ СТЕРЖНЕЙ

Метод расчета динамической устойчивости вращающихся стержней в потоке

Поток, обтекающий стержень с определенной скоростью, может вызвать динамическую потерю устойчивости. На критическую ско­ рость потока при этом существенно влияет закрутка стержня и гео­ метрическая форма его сечения, а также эффект вращения стержня. Вращающийся закрученный стержень может служить математи­ ческой моделью воздушного вин­ та и рабочей лопатки осевых турбомашин и компрессоров. В последнем случае аэродинамичес­ кие силы определяются для ре­ шетки рабочих лопаток [18, 41].

Рассмотрим единичный зак­ рученный стержень несимметрич­ ного переменного поперечного сечения. На рис. 44 показаны системы координат, в которых рассматривается стержень, и тре­ угольники скоростей набегающе­ го потока. Через xyz обозначена прямоугольная правая система координат, вращающаяся вместе со стержнем, с началом в центре масс корневого сечения О. Ось х параллельна оси вращения, ось z направлена по радиусу от оси вращения. Кроме того, исполь­ зуется подвижная система коор­ динат £ Т] Z , ОСИ ^ ИГ] которой являются главными центральны­ ми осями в любом поперечном се­ чении стержня. Угол а (z) меж­ ду осями х и В является углом закрутки стержня в данном се­ чении.

Деформация такого стержня исследована в работах [15, 48, 55]. Так как динамическая поте •я устойчивости при воздействии

155

потока представляет реальную опасность для достаточно гибких стержней, то сдвигом и инерцией поворота в дальнейшем можно пре­ небречь. В этом случае предполагается, что при изгибе стержень деформируется согласно гипотезе плоских сечений, а при круче­ нии происходит поворот поперечного сечения относительно центра изгиба и депланация сечения, пропорциональная относительному

где и (z, t), v (z, f), w (z, t) — поступательные перемещения попе­ речного сечения в направлениях х, у, z\ 0 (z, t) — угловое переме­ щение вокруг центра изгиба; ф(£, г], г) — функция кручения, зависящая от формы поперечного сечения [55]. Углы поворота сечений в системе координат lr\z определяются выражениями

156

Для стержней удлиненного профиля [55]

Вариация работы внутренних сил при деформации стержня опре­ деляется выражением

0 F

где F — площадь поперечного сечения; I — длина стержня; на­ пряжения аг, Т|г, тП2 соответствуют напряжениям для упруго-вяз- кого материала

(5.4)

Приведенные коэффициенты вязкости материала kE, ka счи­ таются пропорциональными логарифмическим декрементам зату­

Методика расчета допускает учет демпфирования в материале по Сорокину, а также по более сложным зависимостям [50]. Подставляя (5.4) в (5.3), можно получить выражения для потенци­ альной энергии и вариации работы сил внутреннего демпфирова­ ния. Для улучшения сходимости метода [48] и для возможности в процессе расчетов вести численное интегрирование, а не дифферен­ цирование, удобно представить выражение потенциальной энергии и работы сил внутреннего трения в виде зависимостей от сил и моментов:

(5.5)

6LB

157

— геометрические характеристики, связанные с депланацией по­ перечного сечения при кручении;

Если переносным движением колеблющегося стержня является вращение с угловой скоростью Q вокруг оси параллельно оси х, то каждый элемент стержня получает центростремительное и ко-

158

риолисово ускорения. Согласно принципу Даламбера это равно­ сильно действию на неподвижный стержень центробежных и корио­ лисовых сил. Проекции кориолисового ускорения в данном случае

при рассмотрении перемещений стержня относительно неподвижной системы координат XYZ (рис. 45):

7. --ИЫ (^)’+№)■+№)>*■ <5Л0'-

0 F

где р — плотность материала. Подставляя в (5.10) зависимости для перемещений (5.8) и интегрируя затем по площади поперечного сечения, можно получить выражения кинетической энергии коле­ баний невращающегося стержня и работы центробежных и кориоли­ совых сил. Если пренебречь величинами выше второго порядке малости, а также инерцией поворота и инерцией депланации попе­ речного сечения, эти выражения запишутся в виде

о

155

- ,-)-[(т)! + (тГ]1(я+ г)И2-

z

0 (0) = евМв (0, t),

то работу упругих моментов в корневом сечении можно представить в виде

где eg, еп, ев — коэффициенты податливости заделки [55]. Аэродинамические силы обычно задаются в направлениях,

перпендикулярном и параллельном хорде профиля поперечного сечения, которые практически совпадают с направлениями осей £, т]. Выражение вариации работы аэродинамических сил при этом имеет вид

160

Аэродинамические силы в общем случае представляются в виде

и формы поперечного сечения стержня.

При определении величины и направления скорости набегающего

Скорость Vn может задаваться в виде произвольной функции коор­ динаты z.

Задача о колебаниях вращающегося стержня в потоке решается

певать резкие изменения при монотонном изменении самих пере­ мещений, моменты и усилия изменяются по длине стержня более плавно. Поэтому в качестве аппроксимирующих величин выбраны именно моменты и усилия:

щ = i M l k (Z) f k (t),

*=1

м= 2 Мцк (z) fp+k (t), fc=i