Файл: Усиков, С. В. Электрометрия жидкостей.pdf

Иными словами, нормальная слагающая вектора Е на заря­ женной поверхности (при прохождении через любую заряжен­ ную поверхность) испытывает'скачок, равный 4яа, и не зависит от формы поверхности и наличия или отсутствия зарядов вне ее. В частности, для бесконечной заряженной плоскости

Е2п —Е\п — 2Е2П= ± 2Е = 4ita

поскольку по обе стороны плоскости Е\ — Е2. Во всех точках бесконечной плоскости Е — 2жт.

Введение понятия понтенциала ф позволяет свести опреде­ ление поля вектора Е к определению поля скаляра ф, т. е. при этом определение трех функций точки (слагающих вектора Е) сводится к определению только одной функции ф. В теории по­ тенциала поверхностных и объемных зарядов [13] выражение

с внутренней и внешней сторон поверхности S. Здесь dq> = —А —

= — E d l, где А — работа, совершаемая при перемещении еди­ ничного положительного заряда на расстояние dl. Поэтому

Последнее означает, что напряженность электростатического поля Е равна градиенту электростатического потенциала ф, взя­ тому с обратным знаком.

Таким образом, выражения (II. 1) и (II.2) отличаются зна­ ком. Поверхности разрыва нормальной слагающей градиента потенциала равнозначны заряженным поверхностям, причем скачок этой слагающей ду/dn пропорционален плотности заря­ дов на поверхности.

Работу сил при бесконечно малом перемещении заряда мож­

где R — расстояние от точки поля с потенциалом ф до заряда е. Другая форма выражения (II. 6) такова:

24

Работа на конечном пути L при перемещении единичного по» ложительного заряда из точки Pi в точку Р2 определяется вы­ ражением

Pi

где e/R2— e/R\ = ср2 — <pi есть разность потенциалов между точ­ ками Р2 и Р] в поле элементарного точечного заряда е на рас­ стоянии R от него. Таким образом: ф = e/R. В общем виде для произвольной системы точечных зарядов:

(II. 7)

Следует отметить, что все предыдущие выражения справед­ ливы в точках поля, расстояние от которых до так называемых «точечных зарядов» ех ве­ лики по сравнению с раз­ мерами этих зарядов.

Таким образом, для всех поверхностных заря­ дов справедливо выраже­ ние

заряда до точки поля с потенциалом ф. Причем поверхностный интеграл учитывает поле зарядов, находящихся вне объема ин­ тегрирования V.

На рис. II. 2 представлены параллельные поверхности Si и S2. Предположим, во-первых, что эти плоскости очень близки друг к другу и, во-вторых, что плотности зарядов а и а' на про­ тиволежащих элементах поверхности Si и S2 равны по величине и противоположны по знаку (о = —а'). Примем, наконец, что расстояние между поверхностями исчезающе мало, т. е. рас­ смотрим двойной электрический слой на границе раздела фаз.

25

Для потенциала этого слоя в точке Р спрайедливо выражение (II.9), записанное в форме

s, sa

Выражение в скобках есть не что иное, как приращение об­ ратного значения численной величины радиуса вектора R при перемещении начальной точки вектора от отрицательной поверх­

( /— расстояние между поверхностями) потенциал обоих элемен­ тарных зарядов в точке Р равен:

М ______1 \ _ а № - р 2;

Таким образом,

На рис. II. 3 представлены две поверхности с равным потен­ циалом. Значение потенциала в точке Р„ равно потенциалу в точке Р(.

Поскольку

cos(/’ ")==~рДД

то по произвольному направлению:

26

Последнее означает, что производная ср по произвольному на­ правлению / равна проекции вектора градиента ф на направле­ ние I. Направление градиента п — направление наиболее быст­ рого возрастания скаляра ф. Очевидно, направление (—п) бу­ дет направлением наиболее быстрого убывания скаляра ф.

Согласно вышеизложенному и учитывая выражения (II. 4), а также (II. И) и (II. 12), находим

т. е.

Здесь gradq(l//?) — наибольшее приращение скаляра ф в на­ правлении от точки истока (от двойного электрического слоя); grada( l / ^ ) — наибольшее приращение скаляра ф от точки на­ блюдения (из точки Р на рис. II. 2 к двойному электрическому слою).

Значит можно записать (см. рис. II. 2):

х — ol, получим окончательное уравнение потенциала двойного электрического слоя:

ли п) длины / с плотностью зарядов о, расположенных на по­

слоя dS из точки Р. Заметим, что R соответствует направлению от элемента dS к точке Р. Поэтому cos (R, п)> 0, если из точки Р видна положительная сторона элемента двойного электриче­ ского слоя. Будем считать телесный угол dQ > 0. Тогда выраже­

ние (11.16) можно записать в виде: Ф = J т dQ, где т —-мощ­

ность (момент) слоя.

27

Для т = const, что возможно для двойного электрического слоя, имеем

Ф = т J dQ = тй

s,

где Q — алгебраическая сумма телесных углов, под которыми видны элементы поверхности электрического двойного слоя из точки Р. На примере двойного слоя нетрудно убедиться, что при бесконечно малом перемещении точки наблюдения Р с одной стороны слоя на другую, потенциал изменяется на 4лх. Этот ска­ чок направлен по нормали от отрицательной стороны слоя к по­ ложительной, т. е. двойной электрический слой является поверх­ ностью разрыва сплошности потенциала. А это значит, что

Ф2 — ф1 = 4ят

где cpi и фг — потенциалы отрицательной и положительной по­ верхностей.

На каждой поверхности производная ду/дп испытывает ска­ чок ±4зта [уравнение (II.2)]; скачки эти равны по величине и противоположны по знаку. Поэтому при переходе с одной сто­ роны слоя на другую dq>fdn, а вместе с тем и Е„, остаются не­ прерывными.

В результате перемещения зарядов силы взаимодействия ме­ жду ними (кулоновы силы) совершают работу А. Примем, что она определяется убылью энергии системы зарядов: А — —dW.

Взаимную электрическую энергию зарядов е\ и е2 можно за­ писать в так называемой симметричной форме: W = 1/2 (/1Ф1 + + ^2ф2 )- Электрическая энергия двойного слоя (системы заря­ дов) может быть найдена с помощью выражения для энергии системы т зарядов

£ = т

" ■ - y S ' A

k=\

где фь — потенциал поля в точке, занимаемой зарядом еи- Учи­ тывая выражение (И. 7), находим

Ф* - 2г R ki

= 1

где i ф k.

Энергия взаимодействия зарядов электрического двойного

где ф —значение потенциала всех .объемных и поверхностных за­ рядов в элементе объема dV и на элементе поверхности dS.

28