Файл: Тредер, Г. -Ю. Теория гравитации и принцип эквивалентности. Группа Лоренца, группа Эйнштейна и структура пространства.pdf

ставлении (с нижними пространственно-временными индек­ сами), так как преобразование г\АВ в gik (см. ниже)

gtk = h fh .tn AB = aètâbfb% -nAB

определяет метрический тензор с нижними индексами (см. § 4 настоящей главы).

Если принять, что эти тетрадные поля 4-векторные (т. е. соответствуют бозонам с нулевой массой покоя), то

вместо произведения трех спинорных полей — произведение трех векторных полей. Тогда часть уравнения Гейзенбер­ га, отвечающая за взаимодействие, будет не что иное, как

тензор энергии—импульса Ѳ*, то в уравнения для hf в ка­ честве взаимодействующего члена войдет выражение, описывающее потенциалоподобную связь с тензором энер­ гии—импульса Гейзенберга:

у. h?®\ = хѲ?.

Из соображений размерности константа связи х должна быть равна эйнштейновской гравитационной константе с точностью до численного множителя.

Потенциалоподобная связь гравитации и материи неиз­

бежна, так как из тензора материи Ѳ£ и из h t можно обра­ зовать только 4 вектора. Последовательная тетрадная тео­ рия приводит, таким образом, к однородным уравнениям относительно материи и гравитации. (Потенциалоподобная связь могла бы быть устранена, если бы в член взаимодей­ ствия были введены 4 дополнительных векторных поля. В этом случае простейший тип связи в декартовых коорди­

натах имел бы вид хѲ*; B/fü>ß.)

104.

В псевдодекартовых координатах уравнения для тетрад имеют вид [7]

рии поля с учетом гравитации действует значительно бо­ лее слабая группа симметрии, чем группа симметрии урав­ нения Гейзенберга.

Так как в тензор материи Гейзенберга входят, кроме спинтензоров, тетрады и их производные, то из (4.40) сле­ дует существенно нелинейная теория взаимодействия гра­ витации и материи, в которой уравнения для материаль­ ных полей и (4.40) самосогласованны. Можно получить приближенную теорию слабого гравитационного поля, если

взять Ѳ* из релятивистского уравнения Гейзенберга и под­ ставить его в (4.40). Это — линеаризация точных гравита­ ционных уравнений.

Тетрадное поле можно проквантовать (что соответству­ ет квантованию гравитационного поля), причем «гравито­ ны» оказываются безмассовыми частицами спина 1, а не 2.

Процесс квантования вакуумного поля тривиален:

[hf(x), ftf(je')] = *')■ (4.41)

* Можно получить теорию, в некотором смысле дуальную к (4.40), если вместо ковариантных тетрад h f в качестве первичных

величин теории взять контравариантные тетрады іі'а[7]. Вследст­

вие неэквивалентности плоского оператора □ и римановой мет­ рики gib эти теории и физически оказываются различными

Эти уравнения во втором приближении дают неизометрические метрики с (4.40), в результате смещение перигелия Д<р = 5/6 эйн­ штейновского (ср. § 15). Но так как первичными являются ковариантные метрика и тетрады, то уравнение (*) не является ли­ нейным уравнением для системы отсчета, определяющей метрику.

Это скорее уравнение для преобразованной искомой тетрады h f.

105

где D(x, x') — причинная функция Иордана—Паули для уравнения Даламбера. В общем случае вместо (4.41) будем писать

где F(x, x') — некоторая двухточечная функция, соответ­ ствующая двухточечной бозонной функции уравнения Гей­ зенберга. Точному определению F(x, x') не поддается. Фе­ номенологическое гравитационное поле и макроскопиче­ ская мировая метрика могут быть определены как опера­ торное среднее билинейного произведения полевых опера­

торов lif

Видим, что квантование гравитационного поля не при­ водит к квантованию метрики макроскопического простран­ ства — времени.

Гравитационное поле — дальнодействующее, а потому для него должна быть сформулирована макроскопическая теория. В такой теории динамику материн и гравитации не будем описывать точным уравнением Гейзенберга, а лишь потребуем, чтобы динамические свойства феномено­ логической квантовой материи были совместны с квантовой теорией поля. В частности, постулируем справедливость эйнштейновского динамического уравнения для тензора ма­

терии т)

{ Ѵ ^ т Ч ) : k - (V = - g T t) . k - 4 - v = g T ^ gma <= o, (4.43)

что означает справедливость эйнштейновского принципа эквивалентности инертной и (пассивной) тяжелой масс.

Следуя Гейзенбергу, заметим, что фундаментальное поле фа описывает безмассовые частицы, а масса покоя появляется лишь при взаимодействии с вакуумом. Тензор материи Гейзенберга, в противоположность феноменологи­ ческим теориям, имеет равный нулю шпур

Ѳ = Ѳ/ = 0.

По аналогии с теорией Эйнштейна потребуем, чтобы в приближении слабого поля теория переходила в ньютонов­ скую, причем распределение материи — островное. В том

106

же приближении ньютоновская теория должна быть спра­ ведлива и внутри материальных распределений, т. е. их массы определяются по формуле

Это требование дает возможность написать окончательный

по типу уравнения с источником, как в теории Эйнштей­ на). Так как в Т\, кроме метрического тензора g ik и его производных, входят еще hf со своими производными, то

(4.45) — система нелинейных уравнений относительно hf . Она решается совместно с (4.43) и уравнением состояния материи. Для метрического тензора из (4.45) и (4.1) сле­ дуют 10 уравнений*:

Уравнения (4.45) с заданными начальными и граничными условиями фиксируют тетрадное поле с точностью до гло­ бальных преобразований Лоренца, а следовательно, опре­ деляют риманово пространство с абсолютным параллелиз­ мом в смысле Эйнштейна.

отличающаяся от использованной в (4.45) тем, что в ней подняты индексы с помощью плоской метрики rlik.

* Ср. с биметрическими тензорными уравнениями (3.97).

107

которое можно вывести также из вариационного принципа для hf с функцией Лагранжа

Оно во всех физически важных случаях практически не отличается от (4.45) (см. § 15).

По нашему мнению, связь между материей и гравита­ цией должна быть не типа уравнения с источником (как в теории Ньютона или Эйнштейна), а потенциалоподобной (связи типа Ферми совместно с моделью Юкава). Уравне­ ния гравитационного поля в этом случае становятся одно­ родными дифференциальными уравнениями и в произволь­ ных координатах имеют вид

производные с метрикой апш (х 1е) . Оператор □ является ковариантным оператором Даламбера для векторного поля.

Величина Qi из (4.47) означает теперь

Q i ^ f y + a ^ T m a ^ .

В соответствии с этими уравнениями плотность источника гравитационного поля, которая по Эйнштейну и Ньютону определяется как

108

соответственно, теперь будет задаваться уравнением

Иначе говоря, эффективная активная гравитационная мас­ са зависит от гравитационного потенциала, причем таким образом, что при увеличении гравитационного квазиньютоновского потенциала эффективная гравитационная масса уменьшается (см. § 15 и 16).

С учетом квазиньютоновского потенциала lit эффективная гравитационная масса пгА плотного тела К, состоящего

N

из N частиц, становится меньше суммы ^ тл„ отдельных

п—\

V

частиц тела: т л < V тАп. (Здесь под эффективной ак-

Л = |

тивной гравитационной массой тА всегда подразумевается гравиметрически измеренный вес сферически-симметричного распределения материи, обладающего сферическим ньюто­ новским потенциалом.) Напротив, инертная масса тТп и пассивная масса шРп просто складываются, т. е. имеем

мы «материя плюс гравитация» в тетрадной теории можно сказать следующее: уравнения для материальных полей в Ѵ& лоренц-ковариантны и эйнштейн-ковариантны. Так

как между of в лоренц-ковариантной записи спинорных уравнений Дирака или Гейзенберга и тензором gik в эйн- штейн-ковариантной записи тензорных полевых уравнений имеет место связь (4.23), то влияние гравитационного поля сказывается как на спинорных, так и на тензорных полях. При этом спинорные уравнения оказываются лоренц-ин- вариантными и эйнштейн-ковариантными. Уравнения гра­ витационного поля определяют метрические спинтензоры (4.23) и, следовательно, метрический тензор gik. Они эйн­ штейн-ковариантны, однако не ковариантны относительно локальных лоренцевых преобразований. Напротив, при та­ ком преобразовании из (4.45) вытекает

□ h f + X hi T*il = 2т}"т соА, т hf<n-\-h?n®A- (4.52)

Уравнение (4.45) или (4.49) ковариантно только относи­ тельно постоянных лоренцевых вращений [11].

109