Файл: Тредер, Г. -Ю. Теория гравитации и принцип эквивалентности. Группа Лоренца, группа Эйнштейна и структура пространства.pdf

Скачать файл
Заказать решение

ВУЗ: Не указан

Категория: Не указан

Дисциплина: Не указана

Добавлен: 23.10.2024

Просмотров: 73

Скачиваний: 0

ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.

Следствия потенциалоподобной связи между гравита­ цией и материей рассмотрены в гл. 5 в рамках теории си­ стем отсчета, которая тоже имеет дело с подобной связью.

В статических сферически-симметричных полях, опре­ деленных в (3.97) и (3.100), естественно следуют для крас­ ного смещения и для отклонения света значения, равные эйнштейновским, тогда как для смещения перигелия

Дер = (4/3)Дср Эйнштейн

(ср. с § 15).

 

ЛИТЕРАТУРА

 

1.

Rosen N. Phys. Rev., 57 (1940),

147.

2.

Kohler. Z. Physik, 131, 571; 134,

286 u. 306, 1954.

3.Möller C. Mat. Fys. Skr. Dan. Viel. Selsk. 2, No. 10 (1961).

4.Pellegrini C., Plebanski J. Mat. Fys. Skr. Dan. Vid. Selsk. 2,

5.

No. 4

(1962), 39.

20 (1967), 194.

Treder H.-J. Annalen der Physik,

6.

Einstein A. Bed. Ber. (1928), 217;

(1929),

1 u. 156; (1930), 18 u.

7.

401.

A., Mayer W. Berl. Ber.

(1930),

110.

Einstein

8.Weitzenböck R. Berl. Ber. (1928), 466.

9.Einstein A.,Mayer W. Berl. Ber. (1931), 287.

10.

Bel infante

F. J.,

Swihart

J. C.

Ann. Phys.,

1

(1957), 168.

11.

Belinfante

F. J.,

Swihart

J. C.

Ann. Phys.,

1

(1957), 196.

12.

Belinfante

F. J.,

Swihart

J. C.

Ann. Phys.,

2(1957), 81.

13.Utijama R. Phys. Rev., 101 (1956), 1596.

14.Kibble T. W. B. J . Math. Phys., 2 (1961), 212.

15.Бродский А. M., Иваненко Д. Д., Соколик Г. А. «Ж- экспе-

рим. и теор. физ.», 41 (1961), 1307.

ЧАСТЬ Б

ТЕОРИЯ ГРАВИТАЦИИ — ТЕОРИЯ СИСТЕМ ОТСЧЕТА

Глава 4

ОБОБЩЕННАЯ ЛОРЕНЦ-КОВАРИАНТНОСТЬ

§ 11. ЛОРЕНЦ-КОВАРИАНТНАЯ ПРОИЗВОДНАЯ

Как было указано во введении, для понимания общего принципа относительности необходимо делать различие между системой координат {х‘} и системой отсчета £. Координатные системы — это чисто математическое сред­ ство описания математических соотношений. Независи­ мость физических величин от выбора координатной системы логически необходима, так как сами координатные системы никакой физики в себе не содержат. Системы отсчета — это физическая реальность: они соответствуют некоторому набору измерительных приборов, служащих для определе­ ния тех или иных физических величин. Простейшая систе­ ма отсчета — набор трех пространственных и одного вре­ менного эталонов. Каждому событию в пространстве — времени Ѵ4 соответствуют в этом случае три пространствен­ ных и один временной отсчеты [6 ].

Математически систему отсчета можно представить как поле 4-векторов h f, которые можно считать ортонормиро­ ванными:

gik = hthk'4AB,

Чав

=hAhBgik,

(4.1)

где g ik— метрический тензор

пространства — времени,

а

уіав = diag (+ 1 , — 1

, — 1 , — 1 )

 

тензор Минковского. (Малые латинские индексы — тензор­ ные, а большие индексы нумеруют векторы; и те и другие изменяются от 0 до 3). Векторы h f являются функциями

пространственных и временной координат.

92

Уравнение (4.1) есть условие совместимости системы отсчета h f с пространством — временем У4, в котором реа­

лизуется метрика g ik. Эйнштейновская группа простран­ ственно-временных преобразований

х 1(хк),

Л л

дхк

h i

(4.2)

hi

= дхи

поля 4-векторов соответствует переходу к некоторой изо­ метрической метрике

п'

дхк

дх1

иА и

дхк

дх1

(4.3)

ёпт ~ дх\т

' дх\п

к м

~ дх\т

' дх\п ёы '

 

Условие

(4.1)

сопоставляет

пространству У4 универ­

сальное касательное пространство Минковского М4, кото­

рое по отношению к У4 является

дуальным многообразием

У4. Матрица преобразования h f,

связывающая У4 и У*,

вообще говоря, неголономна с объектом неголономности

Эйнштейна, равным

(П, 5])

 

Aw = -7 - hA ( h f і — hf, k) ■

(4-4)

V

2

 

Наряду c h f системой отсчета в пространстве qih

будет

и преобразованное в У’-поле 4-векторов

 

 

Ä? = üMÄi\

(4.5)

если только

 

 

 

^ а ^ в с = Ъ в -

( 4 - 6 )

Общий принцип относительности тогда можно понимать как эквивалентность всех систем отсчета Е, связанных с заданной метрической структурой qik пространства У4.

Геометрические объекты в У4 только тогда будут удов­ летворять этому определению, если они построены из ло- ренц-инвариантньгх комбинаций тетрад (4.1) и их произ­ водных (см. ниже). Все лоренц-инварианты являются тен­ зорами Эйнштейна или величинами, построенными из них.

Измеряемые значения ф у физических величин инва­ риантны относительно выбора системы координат, т. е. они должны быть локальными объектами — пространственновременными скалярами:

ф іу = О/ (х1( X1л)) = Ф7 (х1).

(4.7)

93

В соответствии с принципом относительности соотно­ шения между измеряемыми физическими величинами не должны зависеть и от выбора системы отсчета. В частности,

ф -7 всегда равно нулю, если ф -7 = 0 . Отсюда следует, что матрица ф - 7 должна быть ковариантна по отношению к ло- ренц-преобразованиям (4.6), т. е. измеряемая величина ф -7 должна быть тензором Лоренца n-ой валентности:

Фа!"; = <“£ - “ *■••• ° ß i‘.

(4.8)

 

Из (4.8) и (4.7), совместно с (4.1), следует, что всем из­ меряемым значениям физических величин можно однознач­ но сопоставить мировые лоренц-инвариантные тензоры той же валентности:

 

ф*Ѵ". =

*!{,... а*/... Фві:::

(4.9)

Лоренц-тензоры

Ф л|---

и мировые тензоры Ф j j -

явля­

ются дуальными величинами.

 

Значение Фл

некоторой величины Ф' в системе отсчета

h f в мировом пространстве

Ѵ4 постоянно, если при изме­

нении Ф7 выполняется условие

 

Ф‘г + ÜAhh<Sk= ФI+ АыФ* = 0,

(4.10а)

где

 

 

Aw =

hA hk,i

(4.106)

аффинные коэффициенты интегрируемого переноса с абсо­ лютным параллелизмом Эйнштейна [1 ], удовлетворяющие тождеству

 

hf,c — A b h t = 0.

(4.10в)

Обычный

дифференциал

d Ф • • •

мирового тензора не

является тензором, например

 

d Ф1 ' =

Ф\і dx‘ =

ФО +

Ф') dx‘. (4.1 la)

Дифференциал становится тензором только после добавле­ ния к нему величины

ТІіФ Ы х1,

(4.116)

где коэффициенты аффинной связности преобразуются по закону

94

Г& = д х '1

дхг

дхР

г « ,

дх^

дЧт

(4.11B)

дхп

дх] к

д х '1

ГР

дх'"

' дх\ь йх\ I

 

Из величин g ik и их производных можно образовать лишь один тип коэффициентов аффинной связности — трехиндексные коэффициенты (символы) Кристоффеля

{&} = 1 " §ІГ

8 *1.г + Sir,к + Srk.l)-

(4-11г)

Очевидно, что они лоренц-инвариантны. Обычный (коорди­ натно-инвариантный) дифференциал

d ФА = ФАс dxl = ФА! hlB dxB = Флв dxB

(4.12а)

от лоренц-вектора фА также не является лоренц-тензором

d Ö A = (ю£фв ),, dxi = ( 4 ф в, + со1 /Ф B)d xl. (4.126)

И в этом случае для получения лоренц-ковариантной про­ изводной необходимо ввести комплексирующую лоренц-аф- финную связность

Lai ФВ dxi = L È c B Ф dxc ,

(4.1 2 в)

преобразующуюся по закону

 

LBI = соccöß ЬІі + CUD соB ,I-

(4 .12г)

Единственной связностью, которую можно образовать из тетрад и их производных, являются величины*

LBI = —■ут = hA Нв-i =

— hA[ hlB,i

(4.13)

преобразующиеся по закону

 

 

 

A

A D C

A D

 

А D

/ л і о \

7з/ — юс Юз 7oi

= — Ю£) (ов,і = (*>D,tЮв.

(4. Іоа)

Величины (4.13)

есть коэффициенты

вращения Риччи тет­

радного поля h f [2]. Их

пространственно-временные ком­

поненты равны

 

 

 

 

 

 

7 « = h-A hB 7 BI — hlA hA-'i =

— fiA-.i hA,

(4.136)

где Ф[к — Ф‘А+

Ф' 1^1,

и сами по себе не являются до-

* Если в некотором

плоском Ѵ4 зададим

инерциальную си­

стему СТО в декартовых

координатах h f = bf

и произведем общее

преобразование Лоренца h f =

o>^8f, то найдем ущ =

— “ с“в I •

95

пустимыми общерелятивистскими величинами, так как они

не лоренц-скаляры, хотя они и мировые

тензоры.

Здесь '

можно провести некоторую параллель с

символами

Кри-

стоффеля |L}, которые, будучи лоренц-скалярами, не яв­ ляются мировыми тензорами.

С помощью лоренцевой аффинной связности (4.13) и правила Лейбница определим лоренц-ковариантную про­ изводную, например, от смешанного лоренц-тензора ф^:

Фвцс = Фвц/ he = Фв.с— Тос Фв + Твс Фо- (4.14)

Для смешанного мирового и лоренцева тензора Фf опреде­

лим обобщенную (лоренц-ковариантную и координатно-ко- вариантную) производную с помощью коэффициентов Риччи и Кристоффеля:

Фміі/ = Фм - Ф ® Т в і- Ф ^ {[‘/}-

(4-15)

Обобщенная производная для

чисто мировых величин пе­

реходит в координатно-ковариантную

 

Ф|ц / = Ф'г +

{Д} Фг = Ф{/,

(4.15а)

а для лоренц-тензоров — в лоренц-ковариантную

Фщі = ФЛ/ -

Тв/ ФВ =

Фм /•

(4.156)

Кроме хорошо известных равенств

 

 

К;і =

8*,/ - 0;

 

(4.16а)

8в|| / =

8в,і = 0;

(4.166)

Sik !|| / =

ëik'l =

 

(4.16в)

^AB H 1= %B II / =

TЛВ/ 4" ЧвАІ = ®

(4.16г)

установлено также, что тетрады hf

являются

обобщенно-

ковариантными константами (лемма Вейля [12]):

 

96

Смотрите также файлы