Файл: Тредер, Г. -Ю. Теория гравитации и принцип эквивалентности. Группа Лоренца, группа Эйнштейна и структура пространства.pdf

является аффинной связностью Эйнштейна абсолютным па­ раллелизмом.

Из (4.1) и (4.17) вытекает взаимно однозначное соответ­ ствие (дуальность) лоренд-ковариантного и координатноковариантного представлений тензорных величин. Напри­ мер, имеет место тождество Эйзенхарта [2]

Таким образом, можно переходить от лоренц-ковариантных производных лоренц-тензоров к координатно-ковариант- ным производным мировых тензоров и наоборот. Оба типа производных взаимно дуальны. Например, лоренц-кова- риантный тензор кривизны тождествен риманову тензору:

Фи вс — Фи св = (Ф;Ы-- ф;/*) hA tie he —

Закон инерции СТО

u\k ик — 0

может быть записан в терминах лоренц-ковариантных ве­ личин

* Для эквивалентности представлений Лоренца и Эйнштейна необходимо, чтобы имела место лемма Вейля h f wl — 0. Отсюда

+ llA hk. I ■

и приводит, таким образом, к уравнению геодезических на некотором римановом пространстве Ѵі .

При выводе этого уравнения существенно требование ко­ вариантности относительно произвольных локальных лоренцевых вращений. Если потребовать ковариантность от­ носительно только постоянных вращений (со* [ — 0), то

уже нет надобности добавлять к обыкновенному дифферен­ циалу

d ФА = ФА dxl

лоренц-аффинную связность

Из (4.21) приходим к координатно-ковариантной произ­ водной

дуальной (4.21). Здесь координатно-аффинная связность равна интегрируемой аффинной связности Эйнштейна Alkh

иперенос тензора в Ѵ4 становится интегрируемым. В этом случае нет никакой аффинной кривизны, а следовательно,

игравитационного действия. Общий принцип относитель­ ности как лоренц-ковариантность соотношений между фи­ зическими величинами включает в себя в качестве частного случая и эйнштейновское толкование этого принципа (коор­ динатная ковариантность физических уравнений, сформу­ лированных в мировом пространстве), а потому также до­ пускает геометризацию гравитационного поля.

Если допустить, что структура Ѵ4 определяется только метрикой g ik и что все физические величины сформулиро­ ваны на языке лоренц-тензоров, то становится возможным инвариантное относительно выбора системы отсчета описа­ ние физических соотношений, т. е. запись уравнений на языке мировых тензоров.

Общий принцип относительности в этом случае можно сформулировать так [6]: основные физические законы мож­ но формулировать в Ѵ4 без привязки их к какой бы то ни было системе отсчета (эйнштейновская формулировка)*.

* См. также введение.

98

Чтобы следующие из основных физических законов со­ отношения между измеряемыми физическими величинами не зависели от координатной системы, они должны быть координатно-ковариантными (принцип ковариантности Эйн­ штейна).

Отсюда следует, что та форма, которую Эйнштейн при­ дал общему принципу относительности, по сути дела явля­ ется дуальным изложением требования лоренц-ковариант- ности [8].

§ 12. СПИНОРНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ

Для тензорных полей существуют два эквивалентных (взаимно дуальных) представления, удовлетворяющих об­ щему принципу относительности [6]: 1) лоренц-коварнант- ное представление с использованием координатно-инва­ риантных величин ; 2) координатно-ковариантное

представление с использованием лоренц-инвариантных ве­

Однако эта однозначность нарушается, если вводятся в

теорию спиноры. Введение спинорных величин означает прежде всего замену однозначного тензорного представле­ ния группы Лоренца двузначным унимодулярным пред­ ставлением. При этом тетраде системы отсчета сопоставля­ ются метрические спинтензоры посредством

(4.23)

где а !1Ѵ— постоянные матрицы Паули (греческими буква­ ми будем обозначать спинорные индексы: р,ѵ = 1,2).

Условие ортогональности (4.1) гласит, что

и

99

Здесь величины то? = — 7^ = Т „э = — 7 рі вместе с ус­ ловием

определяют метрический спинор спинорного пространства, который с учетом (4.24) имеет постоянные компоненты

Представление (4.24 а, б) инвариантно относительно унимодулярных преобразований в спинпространстве S2 и Sj, т. е. относительно преобразований спинтензоров

(4.26)

когда матрицы преобразований ajj- = at) (х1) удовлетворяют условию

Если измеряемые величины относятся к спинорным пространствам S2 и 5‘, то общий принцип относительности

требует, чтобы в соответствии с унимодулярной инвари­ антностью (4.24) эти величины преобразовывались как спи­ норы

В соответствии с (4.23) это условие для эрмитовых спиноров валентности 2я ф . , ф . . и т. д. эквивалентно

требованию, чтобы измеряемые величины были лоренц-тен- зорами:

Ф . = о . ф А = a . . h‘ ф 4 = а . ф і .

р.ѵ Д /р.ѵ л Z|j.v

Если — спинор, то обычная производная от него

уже не является спинором, так как имеет место

Введение спинорной аффинной связности (см., напри­ мер [4] Ар/ с законом преобразования

100

дает возможность образовать лоренц-ковариантную произ­

водную от спинора:

Спинорная аффинная связность должна быть одновремен­ но в мировом пространстве тензором, поскольку производ­ ная (4.30) координатно инвариантна. Единственная связ­ ность такого рода, которую можно сконструировать из спинтензоров и их производных, есть связность Инфельда и Ван-дер-Вардена [3]:

Теперь уже можно определить общековариантную производ­ ную для смешанных тензорно-спинорных величин, например

Из (4.32) для метрических спинтензоров получим основное условие

В самом деле

где Агі— аффинная связность Эйнштейна (4.17а)

Имеет место дуальность координатно-ковариантных уравнений для тензорных полей и лоренц-ковариантных уравнений для соответствующих им спинорных полей чет­ ной валентности

101

Учитывая

Ф • = ф * 0. • = Ф л а. ■ ,

JJ .V Ä J J .M Л р . ѵ ’

из (4.23) и (4.15) получим

Но из (4.33) и (4.16) имеем [13].

а? + ='"; hfutl = о, (4.з8)

а из (4.37) и (4.31) следует

Таким образом, для спинорных полей четной валентно­ сти спинорная и лоренц-ковариантная производные экви­ валентны. Лоренц-ковариантные уравнения для спинорных полей нечетной валентности невозможно преобразовать в координатно-ковариантные уравнения, т. е. без спинорных индексов.

С общетеоретической точки зрения произвольные спи­ норные поля должны быть координатно-инвариантными и, в соответствии с общим принципом относительности, ло- ренц-ковариантными. Однако, как уже было сказано, для спинорных полей нечетной валентности не существует ло- ренц-инварпантного и координатно-ковариантного пред­ ставлений. Для тензорных величин тоже имеет место дуаль­ ное утверждение, что все физические величины должны быть лоренц-инвариантными и координатно-ковариантными.

§ 13. НАРУШЕНИЕ ЛОРЕНЦ-КОВАРИАНТНОСТИ ГРАВИТАЦИОННЫМ ПОЛЕМ

Общий принцип относительности будет в теории выпол­ ненным, если физические уравнения для тензорных и спи­ норных полей записаны в координатно-инвариантной и ло- ренц-ковариантной форме. Нарушение общего принципа относительности, а именно общей лоренц-ковариантности соотношений между физическими величинами, возникает тогда, когда геометрия мирового пространства Ѵ,і опреде­ ляется не только лоренц-инвариантной метрикой glk, но

и лоренц-неинвариантными комбинациями тетрад /г*. Это значит, что законы, определяющие структуру простран­

102

ства — времени, должны быть также координатно-кова- риантными. Если эти уравнения определяют лишь glk, то структура пространства лоренд-инвариантна. Но если из этих уравнений определяются и другие, не лоренц-инва- риантные величины, то лоренц-ковариантность метрической структуры Ѵ4 нарушается. В частности, общая лоренц-ко­ вариантность структуры Ѵ4 полностью исчезает, если из структурных уравнений в Ѵ4 можно определить 16 компо­

нент тетрадного поля /г*.

Поскольку понятие глобального вращения простран­ ства — времени Ѵі не имеет физического смысла, то нужно потребовать ковариантность относительно локальных ло-

ренцевых вращений (таких вращений, для которых со в,і = = 0). Это накладывает ограничения на структуру уравне­ ний в Ѵі : они должны быть инвариантны относительно локальных лоренцевых вращений. Последнее выполняется, в частности, если уравнения, определяющие структуру Ѵ4, являются координатно-коварнантными дифференциальны­

ми уравнениями для 16 компонент h£- Из слабого принципа эквивалентности следует, что геометрическая структура пространства — времени тождественно описывает гравита­ ционное поле. Поэтому о наличии или отсутствии в теории общего принципа относительности можно судить по струк­ туре уравнений для гравитационного поля. Если они ло- ренц-инвариантны, то общий принцип относительности имеет место, в противном случае — нет.

Переход от gik к полному ансамблю тетрад h'} означает одновременно и нарушение сильного принципа эквивалент­ ности, так что сильный принцип эквивалентности и общий принцип относительности взаимозависимы. Это будет про­ демонстрировано ниже*.

Итак, полная теория гравитационного поля, исходящая из понятия системы отсчета, требует введения уравнений для тех нелоренцевых преобразований тетрады отсчета, ко­ торые преобразуют первоначальные тетрады Минковского в соответствующие римановы объекты**. В пространстве Минковского мы должны иметь полевые уравнения для

тетрад h i или сітинтензоров а£ \ Эти уравнения должны быть первоначально сформулированы в ковариантном пред­

* См. дополнение «Принцип эквивалентности и экранирование силы тяжести».

** Обоснование см. в § 14.

103