Файл: Тредер, Г. -Ю. Теория гравитации и принцип эквивалентности. Группа Лоренца, группа Эйнштейна и структура пространства.pdf

или соответственно

Для формулировки принципа эквивалентности имеют зна­ чение лишь первая и третья группы преобразований; вто­ рая группа описывает внутреннюю структуру конкрет­ ных гравитационных полей.

IV. Применяя эти понятия, легко можно теперь сфор­ мулировать принципы эквивалентности. Для всех тензор­ ных полей имеет значение лишь эйнштейновская группа координатных преобразований, так что все тензорные вы­ ражения сами по себе являются лоренц-инвариантными. Принцип эквивалентности Эйнштейна гласит: если ди­ намические уравнения тензорной материи сформулированы в канонической форме, иначе говоря, лишь с первыми производными, то влияние гравитации на динамику этой материи будет получено благодаря тому, что эти уравне­ ния будут записаны точно в эйнштейновской ковариантной форме (лоренц-инвариантны они сами по себе).

Для эйнштейновски-ковариантного способа записи не­ обходимо введение метрического тензора gik и его первых производных (а именно, трехиндексных символов Кристоффеля):

[ k i } = Т § і т д,пёк1 + д* 8 і т + д ,8 т к )-

Так как первые производные являются лишь аффинны­ ми тензорами, то имеет место следующее определение прин­ ципа эквивалентности для тензорной материи: локально, т. е. в бесконечно малой окрестности точки Р простран­ ственно-временного мира уравнения специальной тео­ рии относительности справедливы и при наличии грави­ тационного поля.

Для спинорной материи старое определение слабого принципа эквивалентности, предложенное Эйнштейном, недостаточно, так как все специально-релятивистские ура­ внения для спинорной материи сами по себе инвариантны относительно группы Эйнштейна. Слабый принцип экви­ валентности для спинорной материи вытекает из требо­

143

вания, что тензорные поля, возникшие из спинорных полей путем квадрирования, удовлетворяют слабому принципу эквивалентности в форме Эйнштейна (включая лемму Вейля). Таким образом, для спинорной материи слабый принцип эквивалентности формулируется так: влияние гравитационного поля на общую динамику спи­ норной материи описывается при помощи лоренц-ковари- антных и эйнштейн-инвариантных канонических уравне­ ний движения. Слабый принцип эквивалентности для спи­ норной материи является, очевидно, дуальным принципу эквивалентности для тензорной материи, но включает последний принцип в соответствии с выводом.

Для лоренц-ковариантного способа записи спинорных полей недостаточны 1 0 gik и их производные; необходимы еще 16 тетрадных компонент, иначе говоря, 16 составля­ ющих спинтензора и их первые производные. Так назы­ ваемый индекс-символ для переноса спинора

является вектором по отношению к группе Эйнштейна, но не лоренц-ковариантной величиной; с помощью со­ ответствующего преобразования Лоренца его можно ло­ кально исключить (см. В. А. Фок, Д. Д. Иваненко, 1929).

V. В специальной теории относительности метричес­ кие спинтензоры и, тем самым, тетрадные поля обычно фиксируются таким образом, что при этом определяется псевдоевклидовский абсолютный параллелизм. Этот парал­ лелизм в специальной теории относительности выделя­ ет инерциальную систему из всех других систем отсчета.

В инерциальных системах тетрады имеют (пользуясь псев-

а метрические спинтензоры являются спинматрицами Ди­ рака—Паули. Если в теории гравитации тетрадные поля принципиально остаются свободно движущимися, иначе говоря, теория гравитации принципиально лоренц-общеко- вариантна, то слабый принцип эквивалентности для спи­ норной материи допускает также и преобразование в

144

VI. Сильный принцип эквивалентности следует из выше приведенных формулировок слабого принципа эк­ вивалентности на основе замечания, что влияние грави­ тации на тензорную материю однозначно определяется заданием метрического тензора glk. Если структура прос­ транства — времени сама полностью определяется мет­ рическим тензором, то имеет место для всех физических явлений, включая и гравитацию, следующее: в бесконеч­ но малой окрестности некоторой мировой точки спра­ ведлива специальная теория относительности. Следова­ тельно, различие между специальной и общей теориями относительности состоит в том, что в специальной теории относительности бесконечно малые окрестности всех ми­ ровых точек лежат все в одном и том же пространствен­ но-временном многообразии Минковского, тогда как в общей теории относительности каждая из этих окрестнос­ тей лежит в некотором другом многообразии Минковского. Утверждение, что специальная теория относительности справедлива в бесконечно малой области даже при нали­ чии гравитационного поля, является сильным принципом эквивалентности. Из установленной справедливости силь­ ного принципа эквивалентности следует затем, что гео­ метрия пространства—времени, а тем самыми гравитаци­ онное поле, полностью и исключительно определяются метрическим тензором gik. Если для описания гравита­ ции будут дополнительно введены другие величины, на­ пример гравитационное число G или 16 составляющих

hf, соответственно a“ß, то сильный принцип эквива­ лентности окажется нарушенным, ибо преобразований Эйнштейна, имеющихся в нашем распоряжении, недоста­ точно для того, чтобы локально исключить все гравита­ ционные величины.

VII. Для динамики тензорной материи сильный и сла­ бый принципы эквивалентности, очевидно, тождественны. Поэтому в случае тензорной материи нарушение сильно­ го принципа эквивалентности может стать заметным лишь в гравитационном действии материи. Это означает, что универсальная пропорциональность пассивной и актив­ ной гравитационных масс будет нарушена тогда, когда вмес­

145

то постоянного скалярного коэффициента пропорциональ­ ности принята некоторая функция, которая сама зависит от гравитационного поля. Тогда будет нарушен также и принцип противодействия, так что нарушение сильного принципа эквивалентности включает также дополни­ тельное нарушение принципа противодействия.

Для спинорной материи как кинематически, так и ди­ намически имеется различие между требованиями сильно­ го и слабого принципов эквивалентности. Однако сильный принцип эквивалентности требует лоренц-ковариантности общей теории: динамики материи плюс уравнений поля для гравитации. Слабый принцип эквивалентности, на­ оборот, разрешает фиксирование тетрадных полей гравита­ ционными полями вплоть до постоянных вращений Ло­ ренца. Вследствии этого слабый принцип эквивалентности разрешает введение исключительного класса систем от­

146,

также будут решениями (А9). Поэтому между 10 составля­ ющими (А9) должны иметь место 4 дифференциальных тож­ дества. (Это является следствием тождеств Бъянки для тензора кривизны Римана.) Имеет место

т- е- “ хТ‘ * = ( т + с )/?' і- (А11)

Для того чтобы гравитационные уравнения (А9) были совместимы со слабым принципом эквивалентности, диффе­ ренциальные тождества (АН) должны следовать также из гравитационной динамики тензорной материи, которая создается на основе только слабого принципа эквивалент­ ности. Из ковариантной по Эйнштейну записи специаль­ но-релятивистских уравнений следует все же для тензо­ ра материи динамическое уравнение

Это выражение является ковариантным по Эйнштейну оп­ ределением дифференциальной теоремы энергии — им­ пульса, выведенной в рамках слабого принципа эквива­ лентности из СТО:

Сравнивая (А10) и (АН), сразу же получаем определение постоянной а в (А9):

Принимая во внимание (А13), приводим (А9) к уравне­ ниям Эйнштейна:

IX. В обобщенных теориях гравитации необходимо'обес­ печить, чтобы общая ковариантность по Эйнштёйну гра-' витационных уравнений приводила лишь к тривиальным тождествам, т. е. чтобы имелось достаточно большое ко­ личество калибровочных параметров'.' Так как гравита-' ционные'уравнения в этих обобщенных теориях формули/ руются независимо от сильного принципа эквивалентности, гравитационная динамика материи следует в них принци­ пиально не из уравнений для гравитационного поля, а исключительно из слабого принципа эквивалентности и из законов сохранения для материи. Уже при требова­ нии слабог.о принципа эквивалентности, уравнения поля

Н7

материи сами по себе обеспечивают тождественное выпол­ нение динамического уравнения (АН).

X. Особой формой гравитационной теории, удов­ летворяющей только слабому принципу эквивалентности, является теория гравитации — теория систем отсчета. В соответствии с этой теорией гравитационное действие оп­ ределяет общее нарушение лоренц-ковариантности, меж­ ду тем как при помощи уравнений поля и граничных ус­ ловий определяется универсальный параллелизм на уда­ лении, который задается тетрадным или соответственно

спинтензорным полем h f = hf (х‘) и соответственно o f =

—o f( x l). Этот параллелизм вообще не подходит к плоско­ му пространству — времени и поэтому определяет по (А6 ) искривленный риманов пространственно-временной мир. Физически этот параллелизм на удалении означает выде­ ление одного класса систем отсчета в качестве «инерци­ альных».

XI. Все гравитационные теории, которые содержат эк­ ранирование тяготения — зависимость эффективной гра­ витационной постоянной от самого гравитационного по­ тенциала, и нарушают сильный принцип эквивалентности, должны приводить к некоторым одинаковым, по край­ ней мере по порядку величины, эффектам. Существо­ вание или несуществование указанной в § 17 зависимости эффективных планетных масс от их удаления от Солнца является в действительности решающим экспериментом за или против справедливости сильного принципа экви­ валентности. Если сильный принцип эквивалентности будет подтвержден, то теория Эйнштейна будет единствен­ но возможной.

XII. В гравитационной теории Эйнштейна с силь­ ным принципом эквивалентности введение тетрад или соответственно спинтензоров в гравитационные уравнения

148