Файл: Тредер, Г. -Ю. Теория гравитации и принцип эквивалентности. Группа Лоренца, группа Эйнштейна и структура пространства.pdf

Но для собственных времен ds и dx и собственных объемов

dV0 и dV в римановом и плоском пространствах соответ­ ственно имеем равенство

Поэтому для плотности материи р можно записать:

Ф4 аѵ

Рассмотрим объем достаточно малый, чтобы в нем можно было положить Ф = const. Тогда для инертной массы в плоском пространстве можно записать:

а для плотности из (2.10)

1 dm _ 1 ~

(2 . 1 2 )

Фг ' 7 ^ _ "фг Р ’

где р — плотность материи в плоском пространстве. Из (2.12) и (2.3) получаем непосредственно уравнение (2.4).

И еще несколько слов об уравнении (2.11). Из динами­

ческого уравнения T i j = 0 следует, что пробная частица движется по геодезической риманова пространства, а ее тяжелая масса (масса покоя) остается постоянной. Из со­ отношения (2.11) следует, что масса покоя в плоском про­ странстве уже не остается постоянной. Это значит, что пробная частица в плоском пространстве уже не движется по геодезической, так как появляется дополнительная сила, пропорциональная градиенту потенциала ф.

В соотношениях (2.2) , (2.3) и (2.4) содержится специаль­ ный принцип относительности. Они инварианты относитель­ но постоянных, т. е. не зависящих от мировых точек пре­ образований Лоренца.

Раньше мы сформулировали специальный принцип отно­ сительности с несколько иной точки зрения. Мы определя­ ли принцип относительности как инвариантность систем отсчета относительно глобальных лоренцевых вращений. Данная же формулировка будет иметь место тогда, когда найдутся вращения, с помощью которых можно совместить оси системы отсчета с координатными осями (ср. гл. 4).

44

Прежде чем сравнивать теорию Нордстрема с эксперимен­ тальными результатами, рассмотрим две ее другие форму­ лировки, позволяющие установить связь между скалярно­ тензорной теорией, тетрадной теорией и теорией Норд­ стрема.

В теории Нордстрема можно рассматривать простран­ ственно-временной скаляр ф как одну из составляющих, наряду с метрическим тензором, полевой функции гравита­ ционного поля. Для скалярного поля ф можно записать вариационный принцип:

к теории Нордстрема, мы должны еще потребовать, чтобы gkl была задана в некоторой, вполне определенной коорди­ натной системе, а следовательно, и во всех тех координат­ ных системах, которые связаны с исходной постоянными лоренцевыми преобразованиями.

Уравнение (2.14) напоминает полевое уравнение теории Иордана — Дикке для скалярной составляющей. Это зна­ чит, что теорию Нордстрема можно рассматривать как один из вариантов скалярно-тензорной теории, если счи­ тать, что полевые уравнения для gkl в ней заменены до­ полнительными алгебраическими условиями. Наконец, мы представим теорию Нордстрема в такой форме, которая имеет фундаментальное значение для тетрадных теорий [3]. Примем, что все гравитационные взаимодействия опи­ сываются не тензорным полем g kl, не тензорным (g,d) и ска­

Само же гравитационное взаимодействие распространяется в плоском пространстве.

45

В качестве уравнений поля постулируем 16 уравнений для hi:

где Tkl — тензор энергии — импульса в плоском простран­ стве. Чтобы определить h£ полностью, нужны дополни­ тельные условия.

Мы придем к теории Нордстрема, если потребуем, чтобы в координатах, в которых метрический тензор пространства Минковского имеет вид ч\ы, тетрадное поле можно было бы

Рассмотрим линейное приближение теории Нордстрема. Некогерентное распределение материм с малой плотностью р индуцирует слабое гравитационное поле

Ф = 1 + 'р/с2,

подчиняющееся уравнению

Д? = -----(2.18)

Из динамического уравнения следует, что пробная частица движется по геодезической риманова пространства. В слу­ чае медленного движения ф можно отождествить с потен­ циалом Ньютона. Тогда из возможности предельного пере­ хода к ньютоновской теории находим

где G — ньютоновская гравитационная константа.

Чтобы получить в рамках теории Нордстрема красное смещение спектральных линий, отклонение света гравита­ ционным полем и смещение перигелия планетных орбит,

Из этой метрики для собственных частот, - измеряемых в точке гу< г2 , получим

46

Затем красное смещение измеряется в точке г2, и это зна­ чение сравнивается с полученным смещением в рамках эйнштейновской теории.

В литературе можно встретить утверждения, что крас­ ное смещение является непосредственным подтверждением слабого принципа эквивалентности для электромагнитного излучения [4].

Поместим в слабое гравитационное поле два экземпляра идентичных часов на расстоянии друг от друга достаточно малом, чтобы поле можно было считать однородным (часы мы называем идентичными, если они идут идентично в одной точке пространства). Затем будем посылать непрерывные

где h — расстояние между точками 1 и 2, g — ускорение силы тяжести в однородном поле.

В рамках гипотезы световых квантов потенциальная энергия кванта в точке 1 равна hv/cz-gh, откуда следует, что фотон, кроме своей инертной массы hv/c2, имеет равную ей по величине пассивную тяжелую массу.

Электромагнитное излучение, оказывается, тоже под­ тверждает слабый принцип эквивалентности, который те­ перь можно было бы сформулировать так: инертная масса равна пассивной тяжелой массе.

Однако эти аргументы справедливы только в рамках ньютоновской теории. Нельзя ожидать, чтобы теория, хо­ тя и переходящая в предельном случае в ньютоновскую, но сформулированная на совершенно других принципах, имела бы тот же «механизм» красного смещения, что и не­ релятивистская ньютоновская теория.

В рамках теории Нордстрема электромагнитному излу­ чению нельзя приписать никакой тяжелой массы. Как уже было сказано, риманово пространство в теории Нордстре­ ма конформно-плоское. Вследствие конформной инвари­ антности уравнений Максвелла фотон не должен чувство­ вать присутствие гравитационного поля. В любом случае он должен двигаться по нулевой геодезической простран­ ства Минковского, и все же, несмотря на это, красное сме­ щение должно иметь место и в теории Нордстрема.

Ясно, что формулировка слабого принципа эквивалент­ ности в виде (ТІ;/= 0) и формулировка этого принципа

47

в словах: «инертная масса равна тяжелой пассивной мас­ се» — это не одно и то же в теории Нордстрема: свет дви­ жется по нулевым геодезическим пространства Минковского и конформно-плоского пространства Римана, однако све­ ту в теории Нордстрема нельзя приписать тяжелую массу.

В теории Нордстрема, как и в остальных метрических теориях гравитации, причину красного смещения следует искать во влиянии гравитационного поля на ход часов.

С помощью непрерывного сигнала, посылаемого из точ­ ки 1 в точку 2, фиксируется определенное время. Это время, в единицу которого в точке 2 принимается столько коле­ баний, сколько их излучается в ту же единицу времени в точке 1. Это — координатное время t в (2.20), в чем мы скоро убедимся.

Идентичные часы, используемые для измерения частот, в различных точках пространства идут по-разному по отно­

(см. 2.20). Из (2.23) следует, что отклонения света нет, что и нужно было ожидать, принимая во внимание конформ­ ную инвариантность уравнений Максвелла. Из (2.23) для смещения перигелия можно получить лишь 1/16 эйнштей­ новского значения.

Таким образом, приходим к заключению, что теория Нордстрема неудовлетворительна хотя бы потому, что не содержит отклонения света. Величина смещения периге­ лия тоже вызывает удивление. Хотя здесь и можно было бы возразить, что квадрупольный момент Солнца неизвестен и поэтому даже сейчас не вполне ясно, какую именно часть смещения перигелия не объясняет ньютоновская теория.

Если рассматривать первое теоретическое усиление принципа эквивалентности (см. стр. 27) естественным, то можно сказать, что на основании эксперимента Этвеша — Дикке гравитационную теорию Нордстрема ..можно также считать опровергнутой. Известно, что кулоновское взаи­ модействие между нуклонами добавляет к общей энергии, а следовательно, и к инертной массе атома около одного процента. В соответствии с квантовой теорией поля это взаимодействие нужно понимать как обмен виртуаль­

48

ными фотонами. Однако эти фотоны по теории Нордстрема не подчиняются влиянию гравитационного поля. Следо­ вательно, в соответствии с теорией Нордстрема атомы с раз­ личным вкладом энергии, обусловленным кулоновским вза­ имодействием, при равном числе нуклонов должны иметь различные инертные и одинаковые пассивные тяжелые массы, и эта разница значительно превосходит точность измерений в эксперименте Этвеша — Дикке.

§ 5. ТЕОРИЯ ИОРДАНА — ДИККЕ

Исторически отправной точкой при создании теории Иордана—Дикке послужил один формальный недостаток теории Эйнштейна—Максвелла, если ее формулировать в пятимерном пространстве или, что эквивалентно, в четы­ рехмерном проективном пространстве. Когда в рамках этой новой формулировки получают уравнения Эйнштейна— Максвелла

при варьировании скалярной кривизны пятимерного про­ странства выявляется необходимость дополнительных усло­ вий

(а, b здесь и далее пробегают значения от 0 до 4). В (2.27): Х а — однородные координаты пятимерного пространства, gab — его метрика [19], а ф — скаляр относительно про­ странственно-временных преобразований.

Можно, однако, отказаться от дополнительного условия (2.27), а ввести непосредственно новое скалярное поле Ф.

Скаляр ф толковали по-разному. Сначала Иордан, а за­ тем и Дикке связали его с константой гравитационного вза­ имодействия. Впоследствии Дикке ввел непосредственно новое материальное скалярное поле ф.

С введением скалярного поля ф возникает целый ряд новых возможностей для вывода уравнений поля из вариа­ ционного принципа (свобода выбора функции ф). В рамках

49