Файл: Тредер, Г. -Ю. Теория гравитации и принцип эквивалентности. Группа Лоренца, группа Эйнштейна и структура пространства.pdf

в общем случае совпадать с единицами, определенными в метрике g hl .

Мы видели уже, что масса покоя в метрике gkl оказы­ вается переменной. Следовательно, ни комптоновская дли­ на, ни боровский радиус, ни спектральные линии не могут

служить в ghl масштабами длины.

Если положить X = Оф, то уравнение (2.37) приводит­ ся к стандартному эйнштейновскому виду, только к Ты обычной материи добавлен Ѳ = lnx — тензор энергии —

импульса скалярного поля, а ghl заменено на ghl. Теперь уже и гравитационная константа является истинной кон­

стантой. Это значит, что величины ] / hG/c3, У hG/c5 и

У he!G могут теперь служить единицами длины, времени и массы соответственно, так как h и с — конформно-инвари­ антные величины. Но из-за того, что в ghl пробные частицы не движутся по геодезическим, нарушается слабый прин­ цип эквивалентности.

можно получить любые отклонения от геодезических в мет­

рике gbi, конформной ghl. Отклонение траекторий пробных частиц от геодезических в пространстве с метрикой g k[ оказывается в теории не произвольным, а весьма малым из-за того, что JJ. выбирается пропорциональным ф, а само поле ф подчиняется уравнению (2.38), описывающему сла­ бое гравитационное поле, т. е. ф меняется очень мало. Но выполнение слабого принципа эквивалентности недоста­ точно для постулата о геодезических. Нужно, чтобы мет­ рика допускала в качестве масштабов длины комптонов­ скую длину или же спектральные линии. Здесь это имеет место.

Чтобы обсудить в теории Иордана — Дикке три клас­ сических эффекта, найдем из (2.37) и (2.38) внешнюю мет­ рику статического сферически-симметричного распределе­ ния материи.

56

Метрика (2.44) с коэффициентами (2.45), (2.46) и (2.47) должна быть локально изоморфной метрике. Хекмана в теории Иордана, так как в вакууме конкретное значение т) несущественно (соответствующее отклонение света и сме­ щение перигелия получатся, если С-Н положить равным В теории Иордана). Различие между этими метриками по­ является при введении в решение материи с отличной от

57

нуля массой покоя, например в случае, когда рассматри­ вается поле точечной массы, ньютоновское на бесконеч­ ности.

Следует подчеркнуть, что значения отклонения света и смещения перигелия не определяются вакуумным ре­ шением (константа С произвольна). Нужно обязательно рассматривать источник поля. Тогда при С = 0 в теории Иордана получаем те же величины для классических эффек­

и, сравнивая с (2.57) и учитывая (2.51), приходим к форму­ ле

В частности, при ш ^ 0 константа С для точечной массы не равна нулю; тогда значения классических эффектов в тео­ рии Иордана оказываются отличными от эйнштейновских.

Если взять С по (2.61), то из (2.48) можно получить вы­ ражение для %:

И наконец, из (2.55) и (2.56) находим для отклонения света и смещения перигелия соотношения

58

л Р 4 -f- 3(і) а Эйнштейн /о й о „\

Д© = -----------Д © _ . (2.боа)

При юД 0 они оказываются меньше соответствующих эйнштейновских значений.

Чтобы объяснить те же 43" в смещении перигелия Мер­ курия, что и в теории Эйнштейна, Дикке должен был до­ пустить наличие у Солнца квадрупольного момента, наи­ большая ось инерции которого перпендикулярна к плоско­ сти эклиптики.

Однако наличие у Солнца квадрупольного момента еще не доказано (см. теорию звездного магнетизма Штеенбека). У магнитных звезд можно ожидать наличие эллипсоида инерции, наименьшая ось которого совпадает с осью вра­ щения звезды [10].

В соответствии с теорией Иордана—Дикке величина отклонения света в поле точечной массы меньше, чем в тео­ рии Эйнштейна. Если же экспериментальное значение от­ клонения света Солнцем будет больше, чем дает даже теория Эйнштейна (как считает Фрейндлих [11 ]), то в теории Иор­ дана — Дикке возникает принципиальная трудность: ни­ какие разумные модели Солнца для отрицательных С не «дотягивают» теорию Иордана — Дикке до максимальных эйнштейновских значений отклонения света.

В заключение обратимся к сильному принципу экви­ валентности и покажем, что его формулировка в виде «активная тяжелая масса равна пассивной тяжелой массе и равна инертной массе» является гораздо менее конструк­ тивной по сравнению с другой формулировкой: гравита­ ционный потенциал тождествен фундаментальному метри­ ческому тензору некоторого риманова пространства.

Метрику заключенной в конечном объеме замкнутой, физической системы на большом расстоянии от нее можно считать статической и сферически-симметричной. Тогда из интервала следует, что 2В/К является активной тяжелой массой.

Паули предложил считать инертную массу величиной сохраняющейся. В теории Иордана—Дикке, как и в тео­

рии Эйнштейна, не существует интеграл от Т°. Но только

если в теории Эйнштейна к То добавляется еще й (что в ограниченных пределах интерпретируется как плотность энергии гравитационного поля), то соответствующее вы­ ражение в -теории Иордана — Дикке становится гораздо более громоздким и гораздо менее понятным.

59

Как известно, тензорную плотность Эйнштейна можно представить в виде

( 2 '6 4 )

Подставим затем (2.64) в уравнения гравитационного поля и получим

где дополнительный член Ъ1к зависит от поля ф и его пер­ вых и вторых производных.

как определение инертной массы замкнутой системы. Можно записать Р0как интеграл по поверхности. Тогда,

с учетом (2.44), (2.49) и (2.50), получим из суперпотенциа­

откуда следует, что активная тяжелая масса и инертная масса в теории Иордана — Дикке различаются, а следо­ вательно, нарушается и сильный принцип эквивалентности. Это имеет место даже для поля точечных масс, так как для них СфО.

Вообще говоря, вместо (2.68) следовало бы ожидать дру­ гой результат.

Как известно, для стационарного поля 7?о можно пред­ ставить в дивергентной форме. Кроме того, если метрика при г—у оо переходит в (2.44) с коэффициентами (2.49) и (2.50), имеет место равенство

2В

fRg d3x (2.69)

X

Но

— (To-TS) + ( z g - z s ) d3x (2.70) 2y

(суммирование по а от 1 до 3).

60