Файл: Тредер, Г. -Ю. Теория гравитации и принцип эквивалентности. Группа Лоренца, группа Эйнштейна и структура пространства.pdf

пятимерной теории общий вариационный принцип можно записать

5

произвольные функции.

Пятимерный скаляр R можно выразить через четырех­ мерные величины: 5

метрический тензор четырехмерного риманова пространства,

другую материю, кроме ф-поля, электромагнитного и гра­ витационного полей. Если возникает необходимость вве­ дения других материальных полей, следует (2.30) соответ­ ствующим образом дополнить. Из анализа вариационного принципа (2.30) ясно, как это нужно делать: вместо ска­ ляра Максвелла FklFkl нужно написать общековариантную форму функции Лагранжа СТО. Следуя этому, получим целый класс вариационных принципов:

Ъ ^ Щ + Ф А ) ? 1(Ф) + Ъ(Ф)Ф кФ ' к +

Если теперь потребовать, чтобы в присутствии гравитацион­ ного поля уравнения поля обычной материи были уравне-

50

ниями СТО в общековариантной записи, то в (2.31) следует положить

Только в этом случае тензор энергии — импульса введен­ ной материи будет удовлетворять динамическому уравне­ нию

Это и понятно, так как теперь ф связано лишь со скалярной кривизной, а не с обычной материей. При условии справед­ ливости (2.32) удовлетворяется также и слабый принцип эквивалентности. В частности, незаряженные пробные час­ тицы движутся по геодезическим.

Сильный принцип эквивалентности в теории не выпол­ няется, так как для описания гравитационного поля, кро­ ме метрического тензора, привлекается функция ф.

Произвольные функции / 2 (ф) и /3 (ф) ограничены требо­ ванием, чтобы в линейном приближении из (2.31) следовала ньютоновская теория тяготения. Кроме того, необходимо, чтобы полученные из (2.31) затем значения отклонения све­ та и смещения перигелия были бы близки к соответствую­ щим эйнштейновским значениям. При условии (2.32), из (2.31) можно найти, что ф пропорционально константе гравитационного взаимодействия. Иордан и Дикке рассмот­ рели один частный случай, в котором приняли, кроме (2.32), еще условие / 2 (ф )~ ф -2, а / 3 (ф) — «космологический член» — положили равным нулю.

Исторически путь создания теории Иордана—Дикке был все же иным. Иордан первоначально рассматривал ва­ риационный принцип [5]:

R ---- І . ф р м р*і\— £ф -2Ф к Ф' к У — g d4x = 0, (2.34)

где тг] и С — экспериментальные параметры.

Интересно, что математическое исследование вариацион­ ного принципа не зависит от конкретного выбора уфО, если •в мире, кроме электромагнитного поля и присущего ему гра­ витационного взаимодействия, нет никакой материи.

Иордан вначале принял TJ = 1, отождествил Ф с перемен­ ной гравитационной «константой» и принял, что метрика gkl, входящая в (2.34), есть метрика четырехмерного миро­

51

вого пространства. Этот вариант теории был подвергнут критике Фирцем [7] и Паули [6]. Позднее Иордан и сам пересмотрел его [8].

Паули обратил внимание на то, что обобщение теории Эйнштейна—Максвелла (введение дополнительного ф-по- ля) не выводит теорию из класса чисто волновых теорий, т. е. в ней отсутствует материя с не равной нулю массой покоя. Кроме того, метрика gkl определяется в теории не­ однозначно: нулевые геодезические в пространстве с gl{[ останутся таковыми и во всяком другом пространстве с gkl = w {x)gk[. В этой обобщенной теории Эйнштейна—Мак­ свелла световые лучи являются единственным средством измерения метрики.

Метрика только тогда будет однозначно определена, когда к (2.34) будет добавлен член, описывающий движение незаряженной точечной массы, причем движение должно удовлетворять слабому принципу эквивалентности, т. е. оно должно быть геодезическим.

Фирц ввел этот дополнительный член следующим обра­ зом: подстановкой фч = а, где е0 = а1+1/’і, вводится в теорию диэлектрическая постоянная вакуума. Тогда для точечной

где f —произвольная функция ото, а истинная метрика gu =

станта» связи гравитационного взаимодействия уже не будет постоянной, она оказывается произвольной функ­ цией от ф.

Немедленно возникают две возможности: или задаться конкретной зависимостью «константы» от ф и установить тем самым метрику, или же задать метрику с точностью до конформных преобразований и определить зависимость «константы» отф. Затем оказалось, что построенная на (2.34) теория приводит и к переменности вакуумной диэлектриче­ ской «постоянной»

а это, в свою очередь, вызывает переменность электродина­ мической «постоянной» тонкой структуры, т. е. должно

52

приводить к наблюдаемым эффектам при приеме электро­ магнитного излучения от далеких источников. Однако экспериментальные данные по измерению красного смеще­ ния линии 21 см межзвездного водорода заставляют при­ нять т) = —1, т. е. «постоянная» тонкой структуры ока­ зывается все-таки постоянной, а непеременной, как это должно быть по Иордану. Далее Фирц показал, что пред­ положение о геодезическом характере движения незаряженных точечных масс эквивалентно предположению о постоянстве комптоновских длин волн соответствующих элементарных частиц.

При 7] = —1 диэлектрическая постоянная, действи­ тельно, постоянна, то результаты всех измерений, в ко­ торых за единицу длины принимается либо боровский ра­ диус, либо комптоновская длина, либо произвольная спек­ тральная линия, совпадают. Это не имело бы места, если бы г\Ф—1 и е0 = const, так как в определение любой еди­ ницы длины всегда входит е0 той или иной степени.

Руководствуясь указанными соображениями, Иордан позже выбрал 7} = —]. В этом случае входящая в вариа­ ционный принцип (2.34) метрика такова, что незаряженные

принципа Маха, предложили другую теорию, которая при

Отличительная особенность уравнения (2.37): плотность обычной материи во Вселенной (тензор Тк1) оказывается пе­ ременной из-за переменности гравитационной «константы».

53

Как уже было сказано, интерпретация ф как гравита­ ционной константы возможна, если только имеет место постулат Фирца о геодезических, т. е. если вектор скорости незаряженной точечной массы касателен к геодезической, а масса покоя частицы постоянна.

Конформное преобразование (2.39) переводит старое уравнение движения с учетом (2.40) в новое:

При этом имеет место ds2=x ds2, где ик — 4-скорость в мет­ рике gkl> а масса покоя определяется формулой

уже не по геодезическим; кроме того, масса покоя уже не постоянна.

С физической точки зрения конформное преобразование

.метрики означает: с каждой метрикой связываются «масш­ табы», которые параллельно перемещаются из одной точки пространства в другую без изменения «длин», т. е. в римановом пространстве — времени становится возможным сравнение объектов на расстоянии. Этот параллельный перенос нет необходимости выполнять (да и невозможно), если из самой теории следует, какие величины являются постоянными и из какого набора этих величин можно обра­ зовать объекты с размерностью длины.

В теории гравитации с уравнениями (2.37) и (2.38) мас­ са покоя т постоянна, а потому постоянны комптоновская длина, постоянная тонкой структуры и скорость света в вакууме. Константа связи гравитационного взаимодейст­ вия не постоянна. Следовательно, в качестве масштабов длины можно взять комптоновскую длину, боровский ра­ диус или какую-либо узкую спектральную линию. План-

ковскую длину I — YhG/c3 в качестве масштаба принять нельзя из-за непостоянства G по пространству. Если в не­ которой точке пространства Р0 задан пространственный

вектор с длиной /0 = У hG/c3 , то при параллельном пере­ носе в любую другую точку его длина изменится.

Перейдем теперь с помощью конформного преобразо­

вания к метрике gkl, в которой единицы длины при парал­ лельном переносе не меняются. Эти единицы уже не будут

55