Файл: Тредер, Г. -Ю. Теория гравитации и принцип эквивалентности. Группа Лоренца, группа Эйнштейна и структура пространства.pdf

С другой стороны, для замкнутой системы нужно по­ требовать, чтобы интегралы

J "Л + + Z£ j d3x ( « = 1 , 2 , 3 ) (2.71)

исчезали. Поэтому можем преобразовать интеграл (2.70), что дает

- у - = 2 j Ro dH = j [ф"1 То + to + Zo] d3x = P0, (2.72)

но не (2.68). Где ошибка?

Интегралы (2.71) можно, с учетом (2.65), преобразовать в поверхностные. Тогда легко можно убедиться, что в метрике (2.44), (2.49) и (2.50) эти интегралы не исчезают. Следователь­

но, преобразование интеграла j" R° d3x недопустимо.

Но если интегралы (2.71) не равны нулю, то рассмотрен­

ное выше распределение материи (Т[ ф 0 в мировой трубке конечного сечения) не является замкнутым. Другими сло­ вами, величины

не образуют никакого вектора относительно преобразова­ ний, переходящих на бесконечности в лоренцевы.

Если же мы хотим видеть в Р0 инертную массу, то авто­ матически в теории Иордана — Дикке активная тежелая масса не совпадает с инертной. Но: 1) в теории Эйнштейна Рк имеет физический смысл в некотором классе систем ко­ ординат; 2) в теории Иордана—Дикке Ph теряет всякий физический смысл. Из всего этого следует, что формулиров­ ка сильного принципа эквивалентности как условие ра­ венства масс несет очень мало информации, если речь идет о неньютоновских гравитационных полях.

§ 6. ТЕОРИЯ ХОЙЛА

Для описания гравитационного взаимодействия Хойл также вводил скалярное поле, однако руководствовался он при этом принципом Маха [12]. Особенно большое значе­ ние его С-поле играет в космологии Хойла (предотвращение сингулярностей), а также для решения недавно возникшей задачи о сильных гравитационных полях локальных не­ однородностей во Вселенной [13].

61

Уравнения поля и движения в теории Хойла выводятся из вариационного принципа

где / — константа связи, равная ІО-28, а в новых вариантах теории она равна ІО-8 [20]; Ck= C ,k— градиент скаляр­ ного поля С; т — масса покоя заполняющих Вселенную частиц.

Структура теории Хойла отличается от структуры тео­ рии Иордана — Дикке. Если в последней скалярное поле является составной частью гравитационного поля, а член связи естьф/?, то в теории Хойла С-поле связано с материей при помощи выражения Б т J Ck ■dxk/ds, которое явля­ ется полным дифференциалом и поэтому при вариации мировой линии дает вклад только в конечных точках.

материя существует, ее движение определяется членом Smjds, т. е. существующая материя движется по геодези­ ческим линиям пространства, образованного ею же.

Следовательно, в теории Хойла выполняется слабый принцип эквивалентности для обычной материи, пока она существует. Более того, выполняется и сильный принцип, поскольку для описания поля используется лишь метрика, а С-поле рассматривается как новая материя. Это новое поле тоже является источником гравитации, но соответствующие решения в теории Хойла и Эйнштейна различаются очень мало из-за чрезвычайной малости f. На этом мы и закончим обсуждение теории Хойла.

Уже в наше время Хойл и Нарликар предложили но­ вую теорию, основанную на принципе Маха (масса и инер­ ция одной частицы обусловлены всей материей Вселенной) [14].

До конца параграфа мы будем пользоваться следующи­ ми обозначениями: а, Ь,... — номера частиц; А,В,... — точ­ ки на мировых линиях частиц а,&,...; аМ , Ь'в ,...— коорди­

62

наты этих точек (і = 1,2,3, 4). Вдоль мировой линии час­ тицы а собственное время в точке А задается выражением

гДе ëih — метрика риманова пространства, в котором час­ тицы движутся; G (А , В) — действие сил инерции А на В

и, наоборот, G (А, В) = G (В, А) и определяется с помощью конформно-инвариантного уравнения

Здесь X — произвольная точка риманова пространства, скалярная кривизна в которой имеет значение R(X). Да­

лее, g — детерминант параллельного пропагатора giA kx- Варьируя (2.75) по мировым линиям частиц, получаем

уравнения их движения:

da *

Здесь инертная масса tna частицы определяется с помощью

Геометрия определится варьированием g ih, которые входят в (2.75), по G (Л, В). Получаются уравнения

(Я,*“ St*) ^ 2 2 >п{а) ^ b)^ + 3 g ipgkpT ^ -

■2 2 [m (0) (gik gP^ m flq — tn% + m(b) (gik gP*m!% —

a<b

63

причем тензор энергии—импульса некоторой системы УѴ-час- тиц определяется выражением

Хойл и Нарликар замечают, что уравнения (2.78) и (2.81) при преобразовании

конформно-инвариантны, если массовые функции преобра­ зуются следующим образом:

Если число частиц так велико, что можно рассматривать систему іѴ-частиц как континуум, то можно повсюду заме­

а

примут ВИД '

\т2(R ik — Y ëik R^j + STik — m (gik g n m. pq — m.t k) _

тогда как для m из (2.77) следует уравнение

64

Уравнения (2.86) и (2.87) имеют большое сходство с уравнениями поля скалярно-тензорной теории Иордана— Дикке. Можно сказать, что в теории Хойла — Нарликара в «приближении однородной жидкости» мы имеем дело с скалярно-тензорной теорией с одним скалярным полем т, тогда как в общем случае — со скалярно-тензорной теорией со многими скалярными полями т^Ь). Это доказали Пирани и Дезер [15].

Достойна внимания форма уравнений движения (2.78). Массы покоя всех частиц не могут при помощи одного кон­ формного преобразования одновременно стать постоянны­ ми. Вообще при помощи одного конформного преобразова­ ния можно достичь того, чтобы только одна частица дви­ галась по геодезической линии и имела постоянную массу покоя.Тогда все другие частицы не будут двигаться по гео­ дезическим линиям, т. е. в теории Хойла — Нарликара слабый принцип эквивалентности выполняется не строго.

Чтобы рассмотреть в своей теории красное смещение, отклонение света и смещение перигелия, Хойл и Нарликар

Тогда геометрия в окрестности какой-либо частицы (в ка­ честве таковой выбирается первая частица) определяется при условии, что в этой окрестности нет других частиц, но на большом от нее расстоянии находится много частиц, так что здесь можно применить «приближение однородной жидкости»:

Если обозначить (х функцию массы т (|) , то при учете упо­ мянутого условия получаются уравнения

Хойл и Нарликар предполагают затем, что вне частицы в ее системе покоя геометрия является сферически-симметрич-

ной и статической, а [х зависит только от г. Для точечной массы они дают решение

Здесь р следует интерпретировать как активную тяжелую массу частицы, тогда как т0— [хг = 2 т0— инертная масса.

Если считать Солнце точечной массой и принять, что траектория планеты существенно не отклоняется от геоде­ зической линии, что должно иметь место по оценкам Хойла и Нарликара, то для отклонения света получается значение Эйнштейна, тогда как смещение перигелия достигает 5/6 значения Эйнштейна, т. е. примерно на 17% меньше, что, по оценкам Дикке, находится в пределах возможного. По Хойлу и Нарликару, смещение перигелия, существенно зависящее от (р/г)2, может быть приближено к смещению в теории Эйнштейна, если учитывать, что Солнце является системой, состоящей из п ~ 1 0 5 7 частиц.

Хойл и Нарликар показали, что за член ~ г - 1 в (2.90) отвечает тензор энергии—импульса, а за член ~ г 2 — фун­ кция (X. В таком случае следовало бы в качестве активной тяжелой массы для системы из п частиц принять пр. Для системы, состоящей из п частиц, следует, кроме (х, в (2.89) добавить только одну частицу, так что, по Хойлу и Нар­ ликару, в этом случае должно иметь место

Очевидно, что теперь для п-*- °° смещение перигелия достигает значения Эйнштейна.

Существенно, что и по этой теории смещение перигелия меньше, чем по теории Эйнштейна, так что, очевидно, теория войдет в противоречие с магнитогидродинамикой магнитных звезд [1 0 ].

66