Файл: Скворцов, М. И. Теория и практика решения задач кораблевождения с учетом влияния систематических ошибок учебник.pdf

Cr — случайная величина, в рассматриваемой со­ вокупности измерений принявшая некоторое конкретное фиксированное значение (будем называть ее амплитудой r-й -систематической ошибки).

Например, если рассматривается совокупность радио­ пеленгов, измеренных для определения места корабля, то функции /V (...) представляют собой гармонические функ­ ции курсового угла или удвоенного курсового угла на ра­ диомаяк, а величины С-—коэффициенты радиодевиации. Последние, как известно, являются случайными функция­ ми времени и некоторых других параметров, но в течение небольшого промежутка времени, пока длится измерение нескольких пеленгов, могут полагаться постоянными. В ча­ стном случае, когда fr(a, (3 . . . ) = const, мы имеем дело с постоянной (повторяющейся) систематической ошибкой, значения которой во всех измерениях рассматриваемой совокупности измерений одинаковы.

Широко распространено определение понятия система­ тической ошибки как ошибки, величина которой представ­ ляет собой неслучайную функцию параметров, характери­ зующих условия измерений [15, стр. 17], [44, стр. 362], [51, стр. 7], [80, стр. 15]. Однако, поскольку любая неслучай­ ная величина может рассматриваться как частный случай

димые в результаты измерений-для компенсации система­ тических ошибок, сами являются результатами некоторых

где Сг — оценка1 амплитуды r-й систематической ошибки-, найденная в результате обработки некоторых выполнен­ ных ранее измерений.

1 Оценкой х искомой величины х в математической статистике Принято называть любое приближенное значение этой величины, оты­ скиваемое в виде функции результатов измерений. Операция отыска­ ния оценки х называется оцениванием искомой величины х.

9

После введения поправок результаты измерений оказы­ ваются t отягощенными остаточными систематическими ошибками. Величина r-й остаточной систематической ошиб­ ки в результате /-го измерения равна

чайной величиной уже потому, что оценка £г как функция результатов некоторых предыдущих измерений, неизбеж­ но отягощенных случайными ошибками, есть случайная ве­ личина. Естественным является предъявить требование,

практике назначения поправок, служащих для компенса­ ции систематических ошибок, это требование, как правило, удовлетворяется. Для отыскания поправок применяется способ наименьших квадратов, а он, как известно, дает несмещенные оценки искомых величин. Но тогда, как не­

же амплитуды остаточной систематической ошибки в об­ щем случае отлична от нуля, поскольку наблюдения, из

1 Несмещенной называется такая оценка искомой величины, мате­ матическое ожидание которой равно истинному значению искомой величины.

10

где о2—дисперсия амплитуды zT рассматриваемой оста­ точной систематической ошибки.

В некоторых случаях для вычисления элементов, ма­ трицы Кг удобно пользоваться правилом, сформулирован- 'ным В. Ф. Лукьяновым [49]: корреляционный момент двух случайных величин равен сумме дисперсий их общих сла­ гаемых.

Из выражения (1.5) видно, что коэффициент корреля­ ции между величинами, которые принимает остаточная систематическая ошибка в двух любых измерениях одной совокупности, равен единице ( + 1 или — 1) . В этом со­ стоит наиболее существен«ое отлимие систематических оши­ бок от случайных (коэффициент корреляции между слу­ чайными ошибками двух любых измерений одной сово­ купности, как видно из приведенного выше определения случайных ошибок, равен нулю). Расположив элементар­ ные ошибки измерений в порядке возрастания коэффи­ циента корреляции между их величинами в двух любых измерениях одной совокупности, мы увидим, что случай­ ные и систематические ошибки являются предельными чле­

нуля, и от единицы, принято называть зависимыми. Чет­ ких границ, которые отделяли бы одни ошибки от других, не существует: случайные и систематические ошибки яв­ ляются предельными частными случаями зависимых.

Говорить о том, что та или иная ошибка является слу­ чайной, зависимой или систематической имеет смысл толь­ ко тогда, когда одновременно указывается, в какой со­ вокупности измерений рассматриваются свойства этой ошибки. Одна и та же ошибка в одной совокупности изме­

11

ракет от цели и выступает как систематическая ошибка стрельбы. Если несколько кораблей независимо один от другого ведут стрельбу по одной цели, то ошибки курсоуказания каждого из них ведут к различным, взаимно не­ зависимым отклонениям точек падения ракет от цели и выступают как случайные ошибки.

Нельзя отождествлять термины «случайная ошибка» и , «ошибка измерений, являющаяся случайной величиной». Случайными называются не всякие ошибки, являющиеся Случайными величинами, а лишь те из них, которые в рас­ сматриваемой совокупности измерений взаимно независи­ мы (некоррелированы). Систематические ошибки — слу­ чайные величины, хотя случайными ошибками не являют­

Можно предположить, |Что встречающееся во многих по­ собиях по теории ошибок противопоставление случайных ошибок, как обладающих свойствами случайных величин, систематическим ошибкам, как якобы этими свойствами не обладающим, явилось следствием несовершенства термино­ логии, приводившего к невольной подмене понятий (ото­ ждествлению понятий «случайная ошибка» и «ошибка, яв­ ляющаяся случайной величиной»). С этой точки зрения термины, которыми пользовался Гаусс, были более удач­ ными. Он подразделял ошибки измерений на правильные (regulare, regelmaJHge) и неправильные (irregulare, unregelniafige). Однако мы будем и впредь применять ставшие уже привычными современные термины.

Каноническое представление ошибок измерений. Из выражений (1.1) и (1.3) видно, что систематические ошиб­ ки измерений являются элементарными случайными функ­ циями (§ 3.1) параметров, характеризующих условия из­ мерений. Сопоставим это обстоятельство с гипотезой об аддитивной структуре ошибок измерений [27, стр. 271—274], [32, стр. 9], [50, стр. 116]. Согласно этой гипотезе ошибки измерений представляют собой суммы большого числа элементарных ошибок разного происхождения, чем объ­ ясняется близость распределений реально наблюдаемых ошибок к нормальному распределению. Обратим внима­ ние на другой аспект проблемы. Обозначим истинную ошибку г'-го измерения

12