Файл: Скворцов, М. И. Теория и практика решения задач кораблевождения с учетом влияния систематических ошибок учебник.pdf

функцию параметров, характеризующих условия измере­ ний. В соответствии с теоремой о каноническом представ­ лении случайной функции [61, гл. 6], [11, гл. 16] она может быть сколь угодно большим числом способов представлена

брав достаточно большое число s, можно сколь угодно большим числом способов представить ее в виде (1.7) та­ ким образом, чтобы дисперсия остаточного члена oi была меньше любого наперед заданного положительного числа. Это приводит к следующей формулировке утверждения об аддитивной структуре ошибок измерений. Если дисперсия истинной ошибки в рассматриваемой совокупности изме­ рений конечна, то с любой наперед заданной точностью эта ошибка может быть представлена в виде конечного числа систематических ошибок.

Обычно нас удовлетворяют не любые представления ошибок измерений в виде (1.7), а лишь те из них, которые

ние того же коэффициента в разложении ошибок другой совокупности измерений, отделенной от первой некоторым промежутком времени. Если можно приближенно считать, что справедливо равенство

причем дисперсия ошибки, с какой оно удовлетворяется, доступна оцениванию, то это означает принципиальную возможность, найдя из результатов первых измерений

оценку Сг этого коэффициента, компенсировать r-ю систе-

13

ошибок, с какими удовлетворяются равенства (1.8), были минимальными, составляет одну из важнейших задач тео­ рии и практики измерений. Практически оправдано введе­ ние в результаты измерений лишь тех поправок, в отно­ шении которых с удовлетворяющей нас точностью требо­

ния (1.7), мы уже не можем считать остаточный член Зг пренебрежимо малым.

Учитывая обозначения (1.1) — (1.3) и (1.7), можно представить в виде канонического разложения и истинную

но было бы назвать остаточной ошибкой. Но этот термин уже применяется для обозначения другого понятия. По­ этому будем называть ее пост-остаточной ошибкой /-го

Будем считать, что при любых г и i случайные вели­ чины zT и S; взаимно независимы. Тогда в соответствии с

14

выражением (3.32) корреляционная матрица вектора Д равна

днагональна), то их можно называть случайными ошиб­ ками измерений, в противном случае — зависимыми ошиб­ ками. Но в обоих случаях величина В; является случайной функцией параметров, характеризующих условия измере­ ний, и-.также может быть представлена в виде (Г.7). Та­ ким образом, называть случайные и зависимые ошибки

электронов, условно называются атомами (неделимыми). Столь же условно и выражение «измерения, свободные от систематических ошибок». Его можно понимать только в переносном смысле для обозначения предположения, что компоненты векгора Д в рассматриваемой совокупности из­ мерении обладают свойствами, мало отличающимися от свойств случайных ошибок.

Сложная структура случайных ошибок любых измере­ ний проявляется ощутимо каждый раз, как обнаруживает­ ся новый, дотоле неизвестный источник систематических ошибок. Тогда оказывается, что вновь открытые система­ тические ошибки являются составными частями тех оши­ бок, которые ранее считались случайными, т. е. элемен­ тарными. Этот процесс выделения систематических оши­ бок из случайных является одной из необходимых предпо­ сылок повышения точности измерений. Чем больших успе­ хов мы добиваемся на этом пути, тем большую практи­ ческую значимость приобретает изучение свойств систе­ матических ошибок.

Влияние систематических ошибок измерений на точ­

ность оценок искомых величин. Пусть вектор X = || jc |j„a

15

оценок искомых величин отыскивается как произведение матриц:

циально организованном эксперименте. Истинная ошибка каждого измерения оценивается как разность его резуль­ тата и эталонного значения измеряемой величины (ре­ зультата более точного измерения), которое принимается за истинное. Получив таким образом ряд наблюденных значений истинных ошибок, вычисляют их корреляцион­ ные моменты. Это осуществляется способами, общеприня­ тыми в математической статистике и описанными во мно­ гих пособиях, например [11, § 14.6], [39, § 10]. Считая, что корреляционные матрицы однотипных измерений в сход­ ных условиях примерно одинаковы, распространяют затем

ошибки, что приводит к выражению (1.11). Этот путь несравненно более прост и удобен, поскольку не требует проведения специальных сложных экспериментов и экс­ траполяции их результатов на все измерения, какие пред­ стоит выполнять в будущем. Чтобы получить возможность

16

идти этим путем, надо уметь оценивать корреляционные матрицы Kz и /(•.. Ниже будет описан способ обработки результатов измерений, который позволяет получать оцен­ ки не только искомых величин, но и корреляционной ма­ трицы Кг- Что же касается корреляционной матрицы Кй, то в нередко встречающихся случаях, когда ее можно по­ лагать диагональной, она может оцениваться по разно­ стям уравненных и измеренных значений измеряемых ве­ личин, как это принято при классическом применении спо­

т. е. считать, все остальные систематические ошибки со­ ставными частями пост-остаточной ошибки. Тогда равен­ ства (1.11) и (1.14) примут вид

Х(г)

ошибок в оценках искомых величин, обусловленных влия­ нием r-й остаточной систематической ошибки измерений. Поскольку ранг матрицы Fr равен единице, ясно, что ранг матрицы К~ также равен единице, т. е. ошибки оценок

искомых величин, происходящие от влияния рассматри­ ваемой r-й систематической ошибки измерений, линейно зависимы. По аналогии с терминами, применяемыми в от­ ношении двухмерной случайной величины, можно сказать,

17