Файл: Скворцов, М. И. Теория и практика решения задач кораблевождения с учетом влияния систематических ошибок учебник.pdf

Скачать файл
Заказать решение

ВУЗ: Не указан

Категория: Не указан

Дисциплина: Не указана

Добавлен: 23.10.2024

Просмотров: 67

Скачиваний: 0

ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.

что

если ошибки оценок искомых величин,

происходящие

от

влияния случайных ошибок измерений,

характеризуют­

ся /71-мерным средним квадратическим эллипсоидом оши­ бок (или, что то же самое, системой из т взаимно неза­ висимых векториальных ошибок), то ошибки оценок иско­

мых

величин,

происходящие от

влияния

г-\\ систематиче­

ской

ошибки

измерений,. характеризуются

одной

векто­

риальной ошибкой системы оценок искомых величин.

Сравнение

выражений

(1.18)

и (1.12)

приводит к сле­

дующему правилу оценивания

корреляционной

матрицы

/<"- .

Пусть

А - = II Л , II л1 —вектор

значений

/,> —

А'(г)

 

 

 

 

 

 

 

=/г ( а л Р* • • •)> которые

приняла функция

/,-(а, р ... ) в из­

мерениях рассматриваемой совокупности. Подвергнув его тому же преобразованию, каким из вектора L отыскивает­

ся вектор

X оценок искомых

величин,

найдем вектор

 

 

.Cr =

||c,|U = C/v

 

(1.19)

Тогда искомая

матрица

К~

будет равна

 

 

К~

=°'rCrCj.

 

(1.20)

 

 

Х(г)

 

 

 

Величины

3rCj,

агсъ ...,

orCj,

. . . , <згст

представляют собой

1-ю, 2-ю,

 

/n-ю компоненты искомой

векториальной

ошибки.

Второе решение

составляет

система величин

{—агС}) •

*

§1.2. СПОСОБ НАИМЕНЬШИХ КВАДРАТОВ И АЛГОРИТМ

ПО С Л Е Д О В А Т Е Л Ь Н О Г О УТОЧНЕНИЯ ОЦЕНОК ИСКОМЫХ

ВЕЛИЧИН

Способ наименьших квадратов. При обработке наблю­ дений часто встречаются случаи, когда измеряются не сами искомые величины непосредственно, а некоторые другие величины, являющиеся функциями искомых. На­ пример, при определении места корабля искомыми явля­ ются его географические координаты, измеряются же на­ вигационные параметры — пеленги, расстояния до ориен­ тиров и т. д., зависящие от места корабля на земной по­ верхности и являющиеся функциями географических ко­ ординат.

Пусть зависимость между истинными значениями £ ь

. . . , 5ji • • •> 5m искомых величин и истинным значением

18

fr'tmvr

измеряемой

величины

аппроксимируется

(прибли­

женно выражается)

некоторой функцией ф{(£ь

£j,

• • •>

$ m) ^

 

 

 

 

 

 

 

 

 

iJt

. . ,

g = t / , „ C I + A; ,

 

(1.21)

где

Д(° — истинная

ошибка

аппроксимации.

 

 

С другой стороны,

в

соответствии с формулой

 

(1.9) за­

висимость между исправленным всеми учитываемыми по­ правками результатом 1-го измерения С,- и истинным зна­

чением измеряемой

величины выражается

уравнением

 

 

Ut = UlH„+A'r

'

(1.22)

где А.' — истинная ошибка

измерения.

 

 

Таким

образом,

 

 

 

 

Как бы

ни были

точны

измерения, они

всегда

отяго­

щены неизбежными ошибками. Найти из результатов из­ мерений истинные значения искомых величин невозможно,

поэтому мы довольствуемся

отысканием

приближенных

значений — оценок

искомых

величин,

стремясь

к тому,

чтобы

их отличия

от истинных значений были минималь­

ными.

Зависимость

между оценками

£l t

. . . ,

Хт

искомых величин и результатом /-го измерения £Д- выра­

жается

уравнением

 

 

 

 

 

 

 

 

 

*?ЛхЛъ

. . . , i , . . . , f J - ^ - = ^ .

 

(1.24)

 

Величина

<Ь (£}>•••>

£,•>•••>

£ т )

называется

у р а в ­

н е н н ы м

(уравновешенным)

значением

измеряемой вели­

чины, а

величина

ог- — о т к л о н е н и е м

уравновешенного

значения измеряемой величины от результата

измерения.

 

Поскольку в общем случае функции

ф;(...)

не

являют­

ся

линейными, непосредственно

пользоваться

уравнения­

ми

(1.23) и

(1.24)

было

бы

неудобно. Поэтому

каждую

искомую величину Sj выражают как сумму ее произвольного

приближенного значения $jnp и искомой

поправки ху.'

^ = ^ п Р + А- ; .

(1.25)

19

Это позволяет,

разложив

функцию

 

Ф,

( £ ь

 

5,„)

в ряд Тейлора,

заменить

уравнение

(1.24) эквивалентным

ему (с точностью до величин второго порядка

малости)

линейным уравнением, которое

принято

называть у р а в ­

н е н и е м п о п р а в о к:

 

 

 

 

 

 

 

апхг

+

... +

а-чх}

+ ... +

almxZ

-

/, =

v,.

(1.26)

где

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

aV =

 

Щ

 

при %l =

n p ,

Ij

=

 

 

=

£ у

IIp> •••!

=

^ffl Пр>

 

 

(1-27)

 

=

 

Ф/в п р ) . . . , е У п Р ,

. . . , е « „ Р ) .

 

0-28)

Величина а-,) называется коэффициентом при искомой величине Л'3- в i-м уравнении поправок, величина U — сво­ бодным членом. 1-го уравнения поправок.

Величины 5i, 5j, • •., Sm> входящие в уравнения (1.21) и (1.23), в общем случае являются случайными величина­ м и — случайными функциями времени и некоторых других параметров. Задачей обработки наблюдений следует счи­ тать оценивание математических ожиданий этих случай­ ных величин. Поэтому условимся, что символами %\, ... ,

kj, • 5m нами обозначены оценки математических ожида­ ний случайных величин £ь ... , ?j, ... , U - Все последующие

выводы будут

справедливы и в том частном

случае,

когда

lj,

... ,

U — не случайные

величины.

Но при

этом

надо полагать, что М {i1) = i1,

... ,

М (£.) = L

М (£,„) -

Введем

обозначения:

 

 

 

 

 

 

Mity-bj^Xj-,

 

 

(1.29)

 

 

е . - Ж ( £ . )

= Д ш .

(L30)

Тогда вместо уравнения (1.23) можно рассматривать'экви­ валентное ему- (с точностью до величин второго порядка малости) уравнение, которое принято, называть у р а в н е ­ н и е м о ш и б о к:

h - ( « , Л + ••• + atJXj + ... + ашхт) = Д„ (1.31)

20

где

Д; = д : - л ; +

д;";

•

(1.32)

 

А Г — ап\т

+ ». +

+

... +• a«mA( 0 m .

(1-33)

В описаниях

способа

наименьших

квадратов

величи­

ну Ai иногда называют истинной

остаточной ошибкой /-го

измерения. Но в действительности она имеет более слож­

ную структуру:

помимо собственно ошибки измерения

А!

ее слагаемыми

являются

также ошибка

А- аппроксима­

ции измеряемой

величины

функцией

и ошибка

А^

возникающая вследствие случайных отклонений величин^,

... , Sj, ..., jj„, от их математических ожиданий. Каждая из них может быть представлена в виде суммы элементарных ошибок, которые в зависимости от того, какая совокуп­ ность измерений рассматривается, могут проявлять свой­ ства систематических или случайных ошибок.

Пусть п — число

подлежащих

обработке

результатов

измерений,

причем

каждому

измерению

соответствуют

свои

уравнение

поправок

(1.26)

и

уравнение

ошибок

(1.31).

Введем

обозначения:

 

 

 

 

 

 

 

£ =

||^||т1— вектор

случайных величин ?ь ... ,

^пр == Uj пр L i — вектор

произвольных

приближенных

 

 

 

 

значений

искомых

величин;

 

 

X — \Х] \\т1 — вектор

 

разностей

математических

 

 

 

 

ожиданий

и

произвольных

прибли­

 

 

 

 

женных

значений

-искомых

величин;

£ = [[£..|[т 1 —вектор оценок искомых величин;

X = \\Xj\\ml — вектор оценок поправок к произволь-

'ным приближенным значениям иско­

мых величин;

 

 

 

 

Д = IJ Д/1|„] — вектор

истинных' остаточных

ошибок

А>ь • • •> Дь

• • •>

A n !

 

 

£ = ll^/ILi—вектор

свободных

членов

уравнений

поправок;

 

 

 

 

V— \vitn\—вектор

отклонений

результатов изме­

рений

от

их

уравновешенных

значе­

ний;

 

 

 

 

 

 

-4 — 1ai)\nm ~ матрица

коэффициентов при

неизве­

стных

в

системе уравнений

поправок.

21

Смотрите также файлы