Файл: Болдырев, В. С. Методы математической статистики в гидрографии и кораблевождении учеб. пособие.pdf

Скачать файл
Заказать решение

ВУЗ: Не указан

Категория: Не указан

Дисциплина: Не указана

Добавлен: 24.10.2024

Просмотров: 101

Скачиваний: 1

ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.

 

 

y=/U f

 

где

X

имеет

 

 

Тогда

 

 

 

 

II

•

 

Или

 

 

 

 

У = X + Z .

где

тх

* 3 - ; rng ; &

известны.

 

Тогда

 

 

( I . 120)

( І .І 2 І )

а . 122)

( I . 123)

^

 

^ Z ?

(І.І2 4 )

<5 = лІ(5г *

г

•

(І.І2 5 )

^

Г Уаг

 

Тля нелинейной функции эта задача не определена.На практике хе часто возникает необходимость хотя бы при­ ближенно оценить нелинейные функции случайных аргумен­ тов.

Например, дистанция определяется по вертикальному углу, измеренному секстаном, оиибка измерения угла из­ вестна, требуется найти ошибку в расстоянии. Эту зада­ чу решают путем приближенной замены на ограниченном участке реальной функции линейной величиной (функция заменяется отрезком касательной).

Пусть

y = f ( X ) ,

58

где X

"

случайная

величина;

ср

-

нелинейная

фуякаал.

Будем считать,

что

случайны величина X находится

в пределах

участка

{ o ifö ) :

Р ( с ^ < Х ^ р ) = і .

На этом участке заменим зависимость <Р(Х) касательной, уравнение которой может быть записано в виде

Теперь получена линейная зависимость, с помощью ко­ торой можно решить задачу нахождения характеристик слу­

чайной величины У , т у и

. Они определяются по

теоремам о числовых характеристиках:

/ г 7 у = р ( / г ? х ) - 7

( і . 126)

вуг‘ [г'(г” х )]2&*

 

( і. 127)

Эти прави ла м агу г быть

раснрострвнены

и на функции

н еск о льк и х а р гу м е н т о в :

 

 

 

■>т х г

» • * ' »

) 9

f l . 128)

* w - È ( 0

<

алэт)

S = H ctycL і (эи и (5^

известны•; найти &ä .

Пример. Расстояние определено по вертикальному углу;

Продифференцируем формулу по обеим переменным:

clS=c to а. dH------2— dick •

 

<г

S in cL

 

59

S i n 2cL
A S = ct^ cL Д Н ~
AcL
Величины д S , ДН , Дсі. можно рассматривать как случайные погрешности с соответствующими дисперсиями:
Ge - c t ,f 2a . a „ * —t-t5 - , - г
Перейдем к конечным приращениям:
И

§10. Дисперсионный анализ

Спомощью дисперсионного анализа можно выяснить сте­ пень влияния каких-либо факторов на результаты измере­ ния. Например, при измерении некоторой величины несколь­ кими однотипными приборами требуется оценить, являются ли оценки математического ожидания, полученные разными приборами, значимыми.

Такого рода задачи, в которых рассматривается влия-

пие какого-либо одного фактора (прибора, наблюдателя), решаются с помощью так называемого однофакторного дисперсионного анализа. Сущность приемов этого анализа заключается в следующем.

Пусть какая-то величина измеряется т наблюдателями одинаковыми инструментами определенным числом приемов п в одинаковых условиях. Можно ли считать, что ре­ зультаты измерений будут однородными по положению центра группирования. Иными словами, являются ли значи­ мыми различия оценок математического ожидания для каж­ дого наблюдателя. При этом предполагается, что точность всех наблюдений одинакова. В данном случае необходимо выяснить влияние наблюдателя на результат измерений.

Итак, всего измерений т х п .

Обозначим каздый результат через х . ■ ,

где і

- I,

2 ,...,/7 ? f £■= 1,2, п .

V

 

 

Результаты наблюдений сведем в таблицу

(табл.1 ,4 ),

 

 

 

Таблица ІИ

 

Номер наблю-

 

Номер измерения

 

 

 

I

2

3

п - /

п

I

х н

Х!2

х *

 

Х,п

2

 

Х2!

Х22

Х23

 

Х2п

3

 

ХЗІ

Х32

Х33

 

х3а

 

 

т

Хт,

-^т2

Х™п

 

XГПп

 

 

По результатам каждого наблюдателя вычислим средние:

Х ‘

7

Хгж^~П

'•>"

* '•>

Хт =-

Общий центр

группирования

получим,

осреднив все

группы:

 

 

 

 

 

 

 

Х= ■

1

Ч

(I . ТЕЮ)

 

 

І

 

 

 

т-п

 

 

 

или

 

 

 

 

 

 

 

хг.п

 

7

 

6 1

Дисперсия результата всех измерений мохет быть за­ писана так:

пт

 

 

 

 

 

( І .І З І )

 

}

1

( І .І З І ) ,

прибавив и отняв от

Рассмотрим числитель

о значения средних для каждого

наблюдателя:

} і

*

 

/*'

 

*

j*l

І-І

U i

Ш '

гі

 

j=‘

i =l

V

 

Третий член последнего равенства состоит из произ­ ведения разностей средних уклонений. Следовательно, его

величина равна нулю:

П

 

 

 

% (* 4 -Xi)= ” * r n S r

0 -

 

 

второй

ч л е / от }

не зависит,

поэтому

 

 

 

 

П т

т

 

 

 

 

Итак,

 

t-i

 

 

 

 

 

 

 

 

 

rz

т

 

 

 

 

 

 

Т ^ ( хі г х ^ п 11(хг

х У + £

L

(Ч ѵ - ^ ) •

( І , Ш )

і

і

г

І

/

і

г

 

 

Таким

образом, мы

получили б первой скобке сумму

квадратог уклонений по группам, а во второй скобке -

сумѵѵ

квадратов уклонений в группе.

 

Обозначим:

левую часть равенства

/*

первое слагаемое справа Qt ;

второе слагаемое справа

Итак,

Q = Q, + Q2

Q - рассеивание по фактору (по наблюдателям);

Q- рассеивание внутри каждой группы (остаточное рассеивание).

Предположим, что результаты измерений подчиняются нормальному закону распределения и, что систематических сдвигов нет. Можем считать, что нормальные распределе­ ния в каждой группе тождественны, так как они должны иметь один общий центр рассеивания и дисперсию.

В этом случае величина дисперсии рассчитывается по формуле

Q

,

в = ------- - »

(І.ІЗ З )

т п - і

 

2

где С - несмещенная оценка дисперсии, подчиняющаяся

-распределению с числом степеней свободы

( т п - і ) .

Величины средних

подгруппам х ;

должны иметь диспер­

сию (первая

скобка)

. Поэтому

оценка дисперсии

равна

О

 

•

 

 

— гг

 

 

 

 

П(т-1)

 

 

 

Таким оСоазоѵ, по

результатам наблюдений можно вычис­

лить

три оценки для

диспепсии:

 

63

Смотрите также файлы