Файл: Болдырев, В. С. Методы математической статистики в гидрографии и кораблевождении учеб. пособие.pdf

значения производных - через a t — мдх

ит .д .

Тогда

Таким образом, мы получили систему линейных уравне­ ний погрешностей.

Исходя из приведенных соображений будем в дальней­ шем считать, что уравнения ошибок всегда имеет линей­ ный вид.

Запишем систему уравнений погрешностей для случая трех неизвестных:

а2Х} $ 2 У С2і + ^2= "г

аг,*+$пу. + СП2 +^П= <'п ■

где <Уг- - свободный член уравнения погрешностей, а

/ . - измеренное значение функции определяемых вели­

чин.

Для того чтобы решить данную систему под условием = m i n , необходимо, чтобы іг> 3. Решим эту

систему при условии [c /t/J =m i n

71

2

t 2 c^ a nx t ë ny c n zi -£ n ) = 0 •

В каждом из полученных трех уравнений раскроем скоб­ ки и произведем перегруппировку, объединяя слагаемые, включающие одно неизвестное. Тогда получим:

[а а ] х + [ a t ] у + [«^]л t [а€] = О }

число уравнений соответствует числу неизвестных. Эта ив система монет быть записана и в форте, которая сле­ дует непосредственно из уравнений, полученных при взя­ тия производных:

72

[а и ] = 0 ;

(2. 6)

■

C(s]= О.

Из решения нормальной системы могут быть найдены значения неизвестных, подставив которые в исходные уравнения ошибок, мохно получить уравненные значения измеряемых величин.

?> 13. Решение нормальных уравнений

При небольшом числе неизвестных можно применять любой метод решения, например с помохыо определителей, по методу треугольного множителя и т.п .

Однако при большом числе неизвестных и яри ручных вычислениях целесообразно применять спосеб последова­ тельного исключения неизвестных (способ Гаусса).

Сущность способа состоит в следующем.

и ело ім его со вторым:

73

В результате получим

] - W W h - W V H ' W ) - ° -

Введем новые обозначения коэффициентов в круглых скобках«

I -Цг+ [&'*] т°

\fc■{]у+ [e r-i\z+ [ с £ - і\ = 0 .

[ і ] обозначает факт исключения первой неизвестной.Чис­ лите ль вычитаемого при этом получается в результате замены второй буквы знаменателя буквами уменьшаемого. Данное правило называется алгоритмом Гаусса.

Исключение следующего неизвестного делается таким хе образом. Умножим первое преобразованное уравнение

Обозначим коэффициенты в круглых скобках через[сс-2]

Из последнего уравнения найдем

[сС-2]

Проставим найденное значение в уравнение предыдуще­ го преобразования«

74

[аа] ? [ а а ] * ~ [ а а ]

Эти три уравнения называются элиминапионными. Существует формальное правило для проверки построе­

ния алгоритма Гаусса, если убрать знак суммы и значок "цифра", то должно получиться тождество.

Контрольное вычисления. Вычисление коэффициентов нормальных уравнений удобно выполнять, располагая ис­ ходные данные в специальной таблице (табл.2 .1 ). Рас­ смотрим такую таблицу применительно к системе с тремя неизвестными. В этом случае таблица будет иметь

20столбцов.

Последние два столбца нужны для оценки точности. Выпиием контрольные соотношения:

со вторым:

75