Файл: Болдырев, В. С. Методы математической статистики в гидрографии и кораблевождении учеб. пособие.pdf

Скачать файл
Заказать решение

ВУЗ: Не указан

Категория: Не указан

Дисциплина: Не указана

Добавлен: 24.10.2024

Просмотров: 97

Скачиваний: 1

ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.

Г?хг Я*

^

 

 

 

' -т +І Г

■)d x = l

(1 .8 7 )

с f ; u

 

U

 

 

 

 

—&o

 

 

 

 

Из э т о г о р а в е н с т в а с л е д у е т

 

 

 

г

 

 

 

( 1. 88)

е > Г

 

 

 

 

р ед ел ен и я

 

 

Т огда п ло т н о ст ь р а спЖ

 

 

 

 

\/р

рхг

Ох

( І . Я 9 )

I f f

e x

 

 

 

 

P i)m e J F

Из т е х же у сл о в и й нормировки с л е д у е т , что

а IIк

•

( 1 . 9 0 )

4 P

Обозначим

_

 

 

я

 

*

 

 

 

Ур

* а -

 

 

( І . 9 Г )

 

—

„

.—

— о •

 

 

(3

 

 

2^р

 

 

 

 

Тогда

палучим

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

- (ах г 6)

 

( 1 . 9 2 )

 

 

 

 

.ПР е

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

№

 

 

 

 

 

Таким

о б р а зо м ,

п л о т н о ст ь норм ального

за к о н а

р а с п р е ­

д ел ен и я я в л я е т с я

частным

сл уч аем

формулы

( 1 . 9 2 )

при

Ос

м

_

 

 

 

 

 

 

 

 

а = --------т=г

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Итак,

центрированная

случайная

величина і'

имеет

плотность р а сп р е д ел ен и я

( 1 . 9 2 ) .

При

заданных зн ач ен и я х

п арам етров f

,

и

Z

плотности

р а сп р е д ел ен и я б у д е т

с о о т в е т с т в о в а т ь точ к а

на о си абсцисс, координата кото-

47

рой

равна

величине оценки тх , вычисленной с

учетом

этих

параметров.

 

 

 

 

гг

 

Пусть в результате измерений получено

значений

случайной

величины X

: х, 7 х г 7

?

х п

-

 

Вычислим вероятность того, что каждое

и з п

значений

попадет в соответствующий интервал с/х :

 

 

 

п

/

}[р

\<*Х

/

/

■

 

 

f (*i)dxc -ë ^ r

е

 

dxi

 

Вероятность того, что все случайные величины

одновременно попадут в соответствующие интервалы doc^ 7 очевидно, может быть вычислена по формуле

 

 

f

p [ i z]

? [ * ]

)

 

/2

 

(

ffj

f

Ь

)

(Т.93)

П f ( x t )d x - = K e

 

 

 

 

 

■=/

 

 

 

 

 

 

 

Найдем точку, для которой это выражение становится

m ax •

 

,

 

 

 

 

 

 

2Р[*1

Я*

- с .

 

(і.ад)

 

в *

 

в х

U

’

 

 

 

X

 

 

 

 

 

 

 

х Г

х С

т х

7

 

 

 

отсюда

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(1.95)

n

2 p

x

n

 

 

 

Таким образом, оценка математического ожидания с учетом асимметрии получилась смещенной, так как она содержит некоторое дополнительное постоянное слагае­

ма

'•loecLG^. . По результатам обработки различных наблюде­

ний, встречающихся в практике гидрографии и кораблевоздения, установлено, что d* имеет порядок — 0 ,3 . Следовательно, в среднем арифметическом обычно содер­ жится систематическая ошибка, равная примерно 1/3 от величины стандарта. Очевидно, что при увеличении числа наблюдений величина этой систематической ошибки не уменьшается. Это дает возможность поставить условия, связывающие число измерений и ожидаемую величину систе­ матической погрешности:

 

л

(1.96)

 

у п

при

ОС = 0 ,3 п = 9.

 

Итак, при морских наблюдениях делать более 9 наблю­

дений

нецелесообразно.

 

Как уже отмечалось, отличие реального распреде -ения от нориального приводит к нарушению соотношения между величиной стандарта и предельной ошибки. В теории ве­ роятностей доказывается, что при любом законе распре­ деления вероятность выхода случайной величины за пре­ делы 3(j ограничена величиной 1/9 (неравенство

Чебышева).

Для того чтобы решить вопрос о величине реальной предельной ошибки, рассмотрим распределение, имеющее эксцесс. Одним из таких распределений является распре­ деление Субботина, имеющее плотность распределения

4

49

где £

и

h - параметры

закона

распределения.

При

£

= 2 распределение Субботина превращается в

нормальное

распределение;

при <5

= 3 эксцесс Ен = -0 ,6 ,

а вероятность нахождения

случайной

величины в пределах

(5 составляет 0,648, в

пределах

2 < 5 f - 0,968 и в

пределах 3 (5 р ~ 1 *

 

 

Другим распределением, для которого можно учесть влияние эксцесса, является распределение Грама-Шарлье. Плотность этого распределения

№ . Ф Ѵ Ъ & & - Ф (" Л * ) .

о - * )

п=3

'

 

 

Для этого закона распределения при эксцессе £

=-0,6

вероятность нахождения ошибки в пределах 5

равна

0,675, в пределах

2 < 3 f - 0,957, в пределах 3 ( 5 f

- і .

Для закона равномерного распределения предельная ошибка

составляет 1,73 б .

Объединим приведенные величины в

таблицу (таб л .1 .3 ).

 

 

 

 

 

 

Таблица 1.3

К 5

1 в

2 (5

з в

Закон распре­

деления

 

 

 

Нормальный...

0,683

0,954

0,997

Равномерный..

0,577

І.ООО

1.000

Закон Субботи­

Р,6Ц8

0,968

1.000

н а . . . . .............

Закон Грамма-

0,^57

* 0,957

1000

Шарлье.............

50

51

Эти количественные соотношения для рассмотренных выше законов справедливы в том случае, когда точно из­ вестны величина стандарта и вид функции плотности рас­ пределения. На практике эти характеристики известны приближенно и поэтому нет смысла задавать слишком боль­ шой коэффициент перехода от стандарта к предельной ошибке. Этот коэффициент может быть принят равным 2 (как в геодезии), что обеспечивает довольно высокий уровень вероятности невыхода случайной ошибки за дан­ ный предел*

Б официальных руководствах по навигационному обе­ спечению использования оружия принят коэффициент 2,5R ; ему соответствует уровень вероятности 0 ,о :)£.

§ 7. Обнаружение

систематических оиибок в

 

 

ряду

наблюдений

 

 

Установим признак, на основании которого

можно было

бы судить о том, содержит ли данный ряд

только случай­

ные ошибки.

 

 

 

 

 

 

Пусть в результате наблюдений получен

ряд ошибок:

 

л , , л 2 . л 3 , . . . , A f, .

 

 

Образуем

последовательные

разности:

 

 

А ^ 2 ■)

^ 3 •>* * * * ^ п - Г ^ п ?

 

*

"озрсдем случайные сшибки и их разности

в квадрат

и сложим полученные

величины:

 

 

 

 

А ?г

 

 

 

 

(1 .7*)

(Д,~А2) +(â , ~

г • • - г

Ді)~= ß

•

( 1 . 1 0 0 )

Составим

выражение:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(I.IO I)

Подставим в него значения А

n ß

’

 

2 п

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

=-^(A'A2+ A2A3+ ■■■+ а па ,)=С

(1 .102)

при

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

п ■

 

 

 

 

 

 

 

с —

о .

 

Средняя квадратическая

ошибка

отдельного

измерения

 

 

 

 

 

 

 

.

 

 

(I.I0 3 )

Стандарт

величины С

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

с

\ п

 

 

•

 

 

( І .ІМ )

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Перепишем равенство

(1.104),

умножив обе

его части

п

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

на

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

- Л

=

-

с

L

 

 

( I . 105)

 

 

 

2 А

L

А

 

 

 

 

Среднее квадратическое

отклонение это? величины

 

 

 

 

 

п

 

<5

(СГэ "

і

 

^ \ А

СГ

A

A

 

 

 

 

А /п

 

но

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

А_

.2 f A ^ A ^ - ' t A ^ ) .

 

п

 

=ö

4

 

/т

 

}>

 

 

п 1

J

V*

 

Смотрите также файлы