Файл: Болдырев, В. С. Методы математической статистики в гидрографии и кораблевождении учеб. пособие.pdf

С5І Q2 (n7' 1^

Критерий имеет следующее количество степеней свободы:

т - І - по первой дисперсии;

т( п - і) - по второй дисперсии.

если r > F f .

Входами в таблицу распределения является число степе­ ней свободы для большей и меньшей дисперсии.

Пример. Длина базиса измерена тремя инварными про­ волоками, причем каждой проволокой измерения выполнены три раза. Результаты обработки наблюдений показали следующее (табл.Т .5).

64

5

65

Глава П. ПРИМЕНЕНИЕ МЕТОДА НАИМЕНЬШИХ КВАДТАТДЗ ІЛЯ РЕШЕНИЯ НАВИГАШОННЫХ И ГИДРОГРАФИЧЕСКИ*

скольку измерения сопровоадаются неизбежными погреинос тями, имеющими случайный характер, то и величины всех будут случайными. Примем, что закон распределения

ошибок измерений является нормальным с параметрами

Предположим, что измерения равноточны, и тогда плот ность распределения каждого результата измерения будет

Определим вероятность попадания случайной величины У на участок .

бб

Очевидно, что эта вероятность может быть вычислена по формуле

О г М 2

Для всей совокупности случайных величии У общая вероятность будет равна произведению элементов вероят­ ности для всех і , т .е .

ведение плотностей вероятности обращается в максимум. Для этого нужно, чтобы показатель степени был ми­

нимальным,

É [&' У = тіп ■

; */

Таким образом, для нахождения значения измеряемой величины, соответствующей максимуму плотности вероят­ ности, необходимо подобрать это значение так, чтобы сумма квадратов уклонений наблюденных величин -и. от

была минимальной. Ото требование носит специаль­

ное название - предписание или "принцип наименьших квад­ ратов",

67

Покажем, что при соблюдении условия наименьших квад­ ратов в качестве оценки математического ожидания можно взять среднее арифметическое измеряемой величины.

Пусть £' , £2 -£п - результаты измерения;!/ -

истинное значение измеряемой величины. По условию найдем т іп от функции:

% ) ~ 2 ( у - е ,> 1 ң у - е ,у ■ ■ ■ + 2 ( У -е „ h o - ,

я У ’ М ; у - - д г •

Таким образом, при соблюдении предписания наименьших квадратов в качестве значения измеряемой величины, ко­ торому соответствует глазе плотности вероятности, мы должны брать среднее арифметическое из результатов из­ мерений. Последнее равенство точно при п — и прибли­ женно при конечном п . Рассмотренные положения могут быть применены для нахождения любого числа неизвестных, от которых зависит результат измерения. Б практике час­ то измеряют не сами неизвестные величины, а функции от них. Например, неизвестные координаты точки могут быть вычислены по расстояниям до нее от других точек с из­ вестными координатами:

где ^ и У - координаты известной точки;

X *■ t - координаты определяемо* точки.

Бели бы расстояние не имело ожибки, то былм бы справедливы следующие равенства:

6В

f , ( x i% )~ S ,~ 0 ;

/г (* ,у )~ S2= 0 .

Б реальных условиях

/ ;l (x , y ) ~ s ,= ^ t

Эти уравнения называются уравнениями ошибок или урав­ нениями погрешностей.

При непосредственных измерениях неизвестных иногда бывают известны условия, которым должны удовлетворять решения. Так, например, для треугольника, в котором из­

Это уравнение называется условным.

Задачей уравнивания в соответствии с принципом наи­ меньших квадратов будет отыскание таких значений неиз­ вестных, которые в наилучшей степени соответствовали бы всем уравнениям погрешностей или условным уравнениям.

§12. Уравнивание с уравнениями погрешностей

вслучае равноточных измерений

Уравнения ошибок обычно стараются представить в ли­ нейной форме.

Это объясняется тем, что процесс решения системы линейных уравнений сравнительно прост. Кроме того, в практике почти всегда имеется возможность приближенно

69

представить в виде линейной функции зависимость между результатами измерений и определяемыми величинами ..Это достигается разложением функций определяемых величин в ряд Тейлора.

значения неизвестных, а через (*•) , (у ) , ...,( Ѵ ) - ве­ роятнейшие поправки к ним, т.е

Обозначим первое слагаемое и результат измерений через

70