Файл: Болдырев, В. С. Методы математической статистики в гидрографии и кораблевождении учеб. пособие.pdf

Скачать файл
Заказать решение

ВУЗ: Не указан

Категория: Не указан

Дисциплина: Не указана

Добавлен: 24.10.2024

Просмотров: 106

Скачиваний: 1

ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.

\

т

Ч

% — 1 ,2,3, • ••)/? «

Требование ^ y t/\= m in моют быть представлено так:

Найдем т іп этой функции по как»му-либо х ң -

Поменяем местами суммирование по і и по ^ :

Это к -е нормальное уравнение. Таким образом,тре­ бование m in , которое мы выполняем в процессе

приближений при решении уравнений поправок, приводит к таким значениям неизвестных, которые удовлетворяют к -• нормальное уравнение.

§14. Определение весов и средних квадрати­ ческих ошибок уравненных элементов с

помощью весовых коэффициентов

Для оценки точности неизвестных, получаемых в резуль­ тате решения нормальных уравнений, необходим» х , у ,

•3

г

,

t

представить

 

в виде линейной функции от ре­

зультатов

измерения. В

этом случае, зная стандарт ошиб­

ки измерения G ,

легко

 

вычислить

стандарт неизвестной.

 

Из предыдущего

можем

записать,

что

где

[,■

-

результат

г

- измерения.

Таким образом, нужно составить следующие уравнения:

 

z = f3 { £ )

•

 

Будем

решать эту задачу так. Сначала

представим

только X

в функции от всех

результатов

измерений:

и для этого исключим из нормальных уравнений остальные неизвестные. Для исключения ѵ к г необходимо иметь три числа, на которые надо умножить каждое нормальное уравнение.

Так как с остальными неизвестными повторяется такая же операция, то для случая трех неизвестных необходимо иметь 9 чисел. Эти множители называются весовыми коэф­ фициентами. Обычно их обозначают:

/ : / • Р

Первая цифра показывает не ме р нормального уравнения, на которое надо умножить данный весовой коэффициент. Вторая цифра - номер неизвестного, которое остается после умножения:

[aa]jr"+ [ j^ ] у. + [ac] J f

[a ^ ] = Q

К

;

 

[a^Jjrt [c&] у + \ßc~\i + [ߣ ] =0

h

;

 

[ac ~\x+ [ß c ] у t [ c c ] z + [?@ J - 0

/j/

^

 

умножим:

 

 

 

= 0

?

fn [aa]X ffn [a^] y + f„ [ac] z T/,/ M

f3,[° c~\x r& [ér ]>,+. 4

[ ^ > ^si [cd = °

'■>

сложим по столбцам:

 

 

 

 

*■( Ы ѵ М Л , +М Д ) +

 

 

т * ( М ^ > М Л , r H / j ,) ^

 

 

 

+ ( М л , *■М / 4 , + М 4 ) =0 •

 

 

Пользуясь производительностью выбора ß - -

, поставим

условие:

 

 

 

*

 

[ ^ y „ t [ a é ] f 2l+ [ac] f 3 = { ;

 

 

 

М ^ Й А л И Д ^ ;

■

 

( " . к )

Н / Д М д + М / Л= 0 •

 

 

 

С учетом

этого выражения иожно записать,

что

 

 

/ * = ° -

 

скобки € і .

Произведем перегруппировку и вынесен

за

Тогда ^

 

 

 

 

 

х ' £, Ы „

г ,+<*,&,)+

(an ftlr é J 2 ,tc n f 3,) = 0 '

85

Обозначим суммы, стоящие в круглых скобках, через

сА.£ :

ö4 ~ a i f n i'^ if2 i + ci'p3i

1

x t £ ickli-^2 <x2 + •••■>■

.

Из этого уравнения видно, что величина .аг выражена линейно через / . Применяя теорему о сложении диспер­ сий, получим

г

г _,2

, , г

 

e x = cL,& sl + d' 2 ^ 2 * ‘

2

‘

При равноточных

измерениях

одинаково. Тогда

G^.

Итак, зная дисперсию результатов измерений, легко найти дисперсию неизвестного.

Система уравнений (2.16) называется системой весовых

уравнений для

х .

Аналогично могут

быть получены сис­

темы весовых

уравнений для

к г ,

Выпишем систем*

весовых уравнений:

 

 

 

И Л + [аІУ г, + [аСУзГ і •

[ае\&+М Д +М /$г0

для

X

(2 . 16)

 

 

 

[ в « ] / в + М Л г 1' М & ' 0

 

 

 

Laé]4f[&]/гг+М А?= 1’

для

#

(2.17)

 

 

[ ас ] Д +

+ [сс]/42= 0 ^

 

 

 

86

[aa] f ß ' [ ^ ] f !}r [aC]f33=0

для г (218)

М *

Отсюда

■г Р ,*,*■ ■ ■ *

<£ - Ы < ѵ ‘>

 

 

 

ai

 

ci

 

firaife

fp2

ai

к

ci

A-

^i=aifßt^if23tCif33

 

к

ci

ti

Найдем сумму [c*wl]

,

» [jf^f ]

.

Для этого

произведем уннопкж

системы уравнение,

как показано,

к результаты слоим

по столбцам. С учетом

весовых урав­

нений получим:

 

 

 

 

 

 

[» { * ]= /:

[* e i]“ 0 ;

; [ o to t] = ^ ;

\ajb\=0‘,

\ijb\-1 i

[cfo}=0 1 \f)P\~f:2;

[ < И ;

[* < T > ^

[ < / |= Л [ Я ] = Л з *

87

Таким образом,

О

Будем считать, что стандарт ^ есть стандарт едини-

Сравнивая две последние строки, находим

Таким образом, для того чтобы оценить точность,надо найти f , и -Р . Получить эти величины можно

в результате решения систем весовых уравнений. Полное решение по Гауссу нужно только для первой весовой систе

мы из трех уравнений.

 

Лля определения -f22

из 2-й системы надо взять

уравнения, которые получаются после первого преобразо­

вания (2 .17).

И н а к о н ец ,^

получается

после второго

преобразования

(2 .1 8 ). Можно доказать,

что

Таким образом, матрица из

является симметричной

Практически к схеме решения нормальных уравнений добавляют три вертикальные графы, в которые вписывают свободные члены системы весовых уравнений.

88

Смотрите также файлы