Файл: Болдырев, В. С. Методы математической статистики в гидрографии и кораблевождении учеб. пособие.pdf
ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 24.10.2024
Просмотров: 120
Скачиваний: 1
Так как все измерения у нас равноточны, то для на хождения элементов весовой матрицы можно использовать формулы
|
a L |
|
7 |
|
|
|
|
||
|
I______ _______ |
|
|
|
Г |
~ ~ |
(Згл , ^ г |
) |
|
|
|
сл \ |
сл |
п / |
Матрица коэффициентов нормальных уравнений здесь |
||||
будет |
|
|
|
|
С=АТРА = п р |
п ( п - і ) р = |
|||
|
|
|
•> |
|
|
|
П ^ с л |
|
|
б сл + п |
&сл |
|||
Аналогично свободные члены нормальных уравнений |
||||
могут быть записаны так; |
|
|
||
A TP L = \ f + ( n - l ) p |
|
■• - i-£ n )■ • |
||
Найдем оценку |
неизвестного |
|
||
|
|
^ |
+ |
**' t 1?П |
х = С ' а гр и = |
|
П |
||
|
|
|
|
|
и выполним оценку |
точности |
|
||
^ 2 |
^ |
&сл |
|
'У |
Ч Г с |
= “ |
‘ |
|
|
Как видим, значение оценки |
неизвестного оказалось |
|||
равным среднему из результатов измерений. Это правильно, так как при непосредственных измерениях у нас нет воз можности выявить и устранить общую для всех измерений повторяющуюся ошибку.Оценка точности показывает, что
128
осреднение измерений уменьшает дисперсию только чисто случайного слагаемого.
§19. Влияние ошибок в негодных данных на результаты определения места
Известно, что на точность определения места влияют наряду с ошибками измерений и ошибки исходных данных. t’acTo ошибками в исходных данных пренебрегают из-за их малости по сравнению с ошибками измерений. Однако в ряде случаев такое пренебрежение недопустимо.
Рассмотрим влияние ошибок в исходных данных па кор реляционную матрицу свободных членов. Вектор свободных членов системы уравнений погрешностей запишем как раз ность двух векторов:
(2.41)
Здесь вектор U |
получен в результате наблюдений, |
с |
|
а вектор U вычислен по приближенным координатам опре деляемой точки и координатам опорных пунктов. Таким об разом, этот вектор является некоторой функцией исходных данных, то есть
Ѵ -С /^х^ Н ) ~ и ( Х ' 7 х г , . . . , x N 7 ^ f 2 2 7 • *• ? 2s ) 1
9 |
129 |
2 , І 2 *•••» 2 * 5 " координаты исходных пунктов.
Вследствие ошибок исходных данных вектор исходных ко ординат отличается от действительного вектора координат исходных пунктов и поэтому счислимое значение всякого навигационного параметра может быть записано с почощьс разложения
|
с |
|
|
|
|
^ = а і Л х , ’ х г- у |
|
2 ? |
■> |
||
ди'і |
д о . |
£ |
д о : |
|
|
+ |
: £s |
У |
|||
j r £ ' T дУ , |
* |
w |
|||
|
С'2 |
|
|
о- $ |
|
где |
0 ° |
, |
о 0 . . . . . |
0°. |
|
^ / |
|
о 2 |
о Ь |
|
£f |
, |
с 2 , |
r £ 3 |
-безошибочные значения координат{
-ошибки в исходных данных.
В матричном виде полученная система линейных функций будет иметь вид
Uc=uf*(p£ ,
где Uq |
- |
безошибочная часть |
вектора; |
||
Ф |
- |
матрица |
вида, |
|
|
|
|
до . |
д о , |
ди , |
|
|
|
-уп |
£ |
4 |
s |
|
|
о С-, |
|||
|
|
д о г |
Эог |
Эог |
|
|
|
ч, |
|
4 |
s |
|
|
Эим |
до» |
|
s J |
|
|
ч, |
Ч2 |
4 |
|
£ - матрица ошибок опорных пунктов,
ТЗО
1
Е
е
Очевидно, что векторы U и и U ° некоррелированы, поэтому корреляционную матрицу свободных членов можем записать так:
(2.44>
Здесь - корреляционная матрица ошибок исходных
данных. Из изложенного следует, что ошибки в положении опорных пунктоз влияют как на величину свободных членов, так и на их корреляционную матрицу. Это влияние пол ностью характеризуется матрицей (2 .43), которую поэтому можно назвать матрицей влияния ошибок исходных данных на результаты измерения. Число строк матрицы (2.43) определяется числом выполненных измерений или числом уравнений погрешностей, а число столбцов»- числом ис пользованных исходных данных (при определении места это удвоенное число опорных пунктов).
Элементы матрицы (2.43) могут быть рассчитаны путем дифференцирования уравнений соответствующих изолиний. Гак как под влиянием ошибок исходных данных изменяется корреляционная матрица свободных членов, то это измене ние необходимо учитывать при уравнивании результатов из мерений. Строгое решение по методу наименьших квадра тов получим в том случае, если при назначении весов уравнений будем пользоваться измененной корреляционной матрицей, а не только оценками точности измерений.
ТЗІ
Пусть в результате измерений имеем следующую систему уравнений ошибок:
A X -L = - A , |
где |
1 = и и- и С * |
|
Пусть также X - D L |
- некоторая оценка неизвестных, |
||
вычисляемая как линейная функция свободных членов. |
|||
В частном случае, |
когда |
D=C А 7Р |
, получим спе |
циальную оценку неизвестных, отвечающую принципу наи меньших квадратов, Х = С 'a tP L .
Рассмотрим вектор
V |
N |
С |
/ |
ы / |
И , , с Uг- U .г
1
|
i* |
1 |
д и , |
|
" |
|
■~ |
^ ± £ |
||||
|
|
||||
|
|
» 2 , £ ' |
3 2 s |
5 |
II
И ,с |
d u N |
|
< ѵ - UN ~ V« - |
u Z - u H ,o - |
4 s t s |
|
" |
% |
1 , |
? > |
e , |
|
I t |
2 t |
f |
r |
|
_ |
2 s _ |
_ f |
r |
e s _ |
После группировки
132
н с |
4 . £ f ^ L £ + . . . + ^ L £ |
|||
|
К |
1 Ъ |
* |
д2* s |
ин -и С |
|
|
|
|
|
|
2 |
2,0 |
|
|
|
|
|
иИ- и с |
^ ± |
£ |
, ^ |
£ + |
d«N с |
|
+ -zr— £ c |
||||||
N |
N,0 |
Ч |
' |
Ч * |
2 |
|
|
|
|
||||
|
г , |
|
|
|
|
|
|
21 |
|
|
- £ г |
|
|
2s J |
- £ с |
|
Первая матрица зависит от ошибок измерений, вторая - от ошибок исходных данных. Перепишем эти матрицы с уче том характера отдельных блоков:
/■ |
4 |
|
|
|
|
< 1° |
►— < |
ф у |
|
|
(2.45) |
% ШИ° |
|
[ і • |
|
||
«■ * |
-7 |
|
|
|
|
. |
л |
|
|
|
|
Слагаемые вектора |
ДРУГ от друга не зависят.По |
||||
этому корреляционную матрицу вектора Wj „ |
можно запи |
||||
сать |
|
|
|
€Л |
|
V,?ливу |
[ф 1 |
Г<?1 |
(2.4б) |
||
-7 |
е |
- 7 |
|
||
|
|
' Кг' |
> |
||
|
|
|
» « |
|
|
Подвергнем вектор |
^ |
линейному |
преобразованию, |
||
сохраняющему последние |
s |
элементов |
без изменения, а |
||
133
первые - переводящему в оценочные значения неизвестных. Для такого преобразования составим матрицу
< |
d„ d« • • • |
dM О О О . . . |
О |
||
................................................................. |
|
|
|
|
О |
................................................................. |
|
|
|
|
о |
................................................................... |
|
|
|
|
о |
. . . . |
. . . . . . . . . . . . . . |
. . . . . . . . . . . |
. . . . . . |
. . . . |
.о. . . . . . . . . |
d„, dn 3 dn 3 . . |
. dnM О О |
О . . . |
О |
||
S = 0 |
0 О. . . |
О і О О . . . О |
|||
.................................. |
|
О і О |
. . . |
О |
|
................................... |
|
О О t |
. . . |
О |
|
................................................................. |
|
|
|
|
О |
. . . . |
. . . . . . . . . . . . . . |
. . . . . . . . . . . . |
. . . . . |
. . . . |
.о. . . . . . . . . |
о о |
о • • |
•о . . . . . . . . . |
. . . . . |
.о. .і |
|
Количество элементов этеі матрицы соответствует коли |
|||||
честву элементов матрицы |
^ . |
|
|
|
|
Матрицу S |
перепишем в виде блочных |
матриц: |
|||
|
D |
О |
|
|
|
|
ѵ9 = |
J J |
|
|
|
|
^О |
|
|
|
|
Умножим слева матрицу |
S на |
|
|
|
|
134