Файл: Болдырев, В. С. Методы математической статистики в гидрографии и кораблевождении учеб. пособие.pdf
ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 24.10.2024
Просмотров: 123
Скачиваний: 1
|
|
|
|
V |
|
|
|
|
|
*/ |
|
|
|
|
|
V |
|
|
|
|
|
/У |
|
|
|
|
|
хг |
|
<*пА+ |
' ,+сіп Л |
|
|
V |
|
— |
*n |
|
|||
2, |
|
2, |
|
||
|
|
|
|
||
22 |
|
|
|
22 |
|
|
|
1 |
1-------- |
1S* • |
|
Напишем корреляционную матрицу этого |
вектора: |
||||
D О |
|
|
|
> |
|
\ |
- ф |
|
’ D T 0 |
||
|
« і ►« |
> |
|||
о и |
(-Фк£У к£ J ъ |
0 u - |
|||
' D KlDt |
- Ф ф К £ |
|
|
(2.Г7) |
|
|
|
|
|
|
|
(-р ф /< £ У |
к £ |
|
|
|
|
Эта матрица представляет собой корреляционную матри цу оценок неизвестных и исходных даихнх.
Из предыдущего известно, что матрица 27 определяет характер получаемых значений оценок. Если оценки найде ны в соответствии с методам наименьших квадратов, то
D = C W P
или
D - C ' W K ~ l ' }
135
DKL D^C'W^ KL (C~‘a TK~^) =
=c 'a tk ~'a (c")t=c ~'a tp a a гр ча ч=с ~'.
Таким образом, D KL £ T равна обратной матрице коэф
фициентов нормальных уравнений и тогда корреляционная матрица оценок неизвестных будет
С-' |
- ѵ ф к с |
|
(2.48) |
к ' . і (-Рф кр |
кс |
Если неизвестные вычислены по методу наимеяьиих квадратов, но вес измеренных величин выбран без учета ооибок исходных данных, то вид корреляционной матрицы будет другим по сравнению с (2.48):
« Г к^ |
ф к е ф Т ’ Ki ‘ I>KLI> T’ |
|
к х - с ' + ( ѵ ф ) x £ ( ß < p f ; |
( 2 . 4 9 ) |
|
ІЗб
C~‘+(I)<P)KE(D(p)T |
-Э ф К Е |
•(2.50)
( - э ф х £ ) т
Ранее іш доказали, что элементы корреляционной матри цы оценок неизвестных, найденных по способу наименьших квадратов, определяется с помощью коэффициентов нормаль ных уравнений
К 2 = 6 г С~' . |
(2.37) |
В формуле (2.50) блок, представляющий характеристику точности неизвестных, включает дополнительные элементы, и поэтому дисперсия неизвестных здесь не будет минималь
ной из возможных. |
Лучшую точность мы получим, действуя |
в соответствии с |
(2 .48). |
§ 20. Вероятнейшее место корабля на галсе
Вычисление вероятнейшего места корабля на галсе на любой момент времени является задачей, решение кетерей представляет не только теоретический, не и практический интерес при навигационно-гидрографическом обеспечении траления, минных постановок, при обработке материалов промера и при решении ряда других задач. Рассмотрим метод вычисления координат на галсе, не связанный с какими-либо априорными предположениями о поведении вектора сноса, при этом будем считать, что поправки основных навигационных приборов надлежащим образом учитываются, а остающиеся погрешности являются случай ными. TQ7
Непосредственно измеренными ъ даинои задаче будут: наблюденные значения н&внгаииоіных параметров, пройден ное кораблем расстояние и направление движения. Для нрестоты записей будем пользоваться прямоугольной сис
темой координат |
Х О У - |
|
|||
Пусть на некоторые моменты времени известны прибли |
|||||
женные координаты точек |
|
||||
И |
Л |
,7 |
Л |
X |
|
*; |
у./ у |
Х 2 |
У 2 |
||
|
|||||
и в эти же моменты произведены измерения навигационных
параметров |
7 |
і = 1 , 2 , 3 , А/ *
Поставим уравнения погрешностей навигационных пара
метров |
|
|
. |
|
|
|
|
аі $ xj f |
$ f y |
' <• = |
і |
(2‘ 51) |
|
|
|
£ |
= |
•••> т |
|
|
каждое из |
которых |
имеет |
вес |
|
|
|
|
|
|
Р г |
|
|
|
г - |
|
|
1 в 1 |
|
|
|
Со■- стандарт ошибки измерения параметра. |
||||||
Для каждого |
направления 7^ z с |
точки ^ |
на соседнюю |
|||
точку галса г |
можно написать |
|
|
|||
Я |
h |
|
|
|
|
(2.52) |
|
|
|
|
|
||
с весом
7
138
£ |
^ 1 2 |
j • - • f /77 t |
'z — i j Z 7 '- - 7 / 7 7 у |
||
% t |
* \ |
|
St,* =SinT<},2 ’ |
cf , - r cosTt} ^ , |
|
расстояния от
% до 7 ;
<o^z - стандарт |
ошибки измерения |
направления |
|
Аналогично |
для |
каждого измерения |
расстояний |
между точками |
^ |
и г можно записать |
|
Xx + s |
(2.53) |
ѵ Ѵ ѵ Ѵ ѵ 1*’ |
|
с весом
Из приведенных уравнений складывается система, под-
лехаоая решению по способу наименьших квадратов.Матри ца коэффициентов этой системы имеет следующий вид:
139
*, |
о |
0 . . . |
. . . 0 |
0 |
а2 é2 0 |
0 . . . |
. ■ ■ 0 0 |
||
0 0 а3 €3 . . . . |
. . 0 |
0 |
||
0 0 |
ач |
|
. . 0 |
0 |
(2.54)
О О О 0 . . . .
S,2-°12 **Л С2І. . . .
<** :
|
1 |
1 |
1 |
|
1 |
|
|
~S2f \ * * . 0 о _
Здесь д 1 - |
матрица коэффициентов уравнений |
погреш |
|
ностей навигационных параметров. Она имеет |
N |
строк и |
|
п столбцов, |
причем п = 2т ( т - число |
определяе |
|
мых точек). Отметим, что среди столбцов /)' мояет быть обязательно четное число столбцов, состоящих из одних о. Номер такой пары столбцов будет соответствовать номеру точки, для которой не известно ни одного значе ния навигационного параметра;
А 1 - матрица коэффициентов уравнений погрешностей направлений и расстояний. Число ее строк равно удвоен ному числу*промеиутков между точками, длина и направле ние которых известны. Для одного галса число строк А
равно 2 { т - і ) . Итак, общее число строк в А равно
N+2 п-2 .
Результаты измерений навигационных параметров не за висят от ошибок в длинах и направлениях отрезков галса, определяемых по счисление. Поэтому весовая матрица будет квазидиагональной,
140
II
о
(2.55)
ор "
где р - весовая матрица ошибок измерений навигацион ных параметров размерностью N x N ,
Р- весовая матрица направлений и длин отрезков
галса размерность* ( п - 2 ) х ( п - 2 ) '7
р ' и р " - симметрические, но не «Іязательна диагональ ные.
Лектор свободных членов будет содержать N t гг- 2 компонентов. Если координаты точек вычисляются одна за Другой с использованием приближенных координат первой точки, то последние п - 2 свободных члена будут равны нулю:
4
г
I =
V
о
о
о
о
Напишем матрицу коэффициентов нормальных уравнений:
с М * , |
Р |
О |
(2.56) |
|
О р" |
||||
|
|
|||
MI
- P p 'l '. |
(?.57) |
Теперь вектор неизвестных поправок к координата«
может быть вычислен с помощью следующего выражения:
x =c 'atp l =(a 'tp 'a '+а "тр “а "г А iTp 'l ' .
Тйким образом, задача решена.
Решение получается сравнительно простым в том случае когда все измерения и ошибки счисления на смежных участ пах галса вэаимонезависимы,*.при наличии же корреляцион ной связи матрица весов Р перестанет быть диагональ ной, что ведет к значительному увеличению объема вы числений.
Определение вероятнаИиего места корабля приведением пазнозрсмсиныт линий полояе-
аия к одному иоиенту
Пусть в некоторый момент времени t, выполнено из
мерение навигационного параметра и получено уравнение линии положения
Если немедленное использование этой ЛП не |
предпо |
|
лагается, то необходимо произвести ее параллельное |
||
смещение на величину пройденного расстояния за |
время |
|
t(2 = t g ~ t, |
• После такого смещения точностьJW нельзя |
|
считать прежней, так как величина смещения известна с погреиностями.
Пусть точность вектора смещения /7 (точность счисле ния за время ^ ) характеризуется корреляционной матри цей
б"" к
ия ; 2
^ах
Составим |
вектор, заданный значениями двух его на- |
. авляющих |
косинусов: |
Так как модуль этой» вектора равен единице, скаляр ное произведение вектора П ,
/7= |
(2.5R) |
7 |
143