Файл: Болдырев, В. С. Методы математической статистики в гидрографии и кораблевождении учеб. пособие.pdf
ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 24.10.2024
Просмотров: 122
Скачиваний: 1
с г_ Г(х - тх)г |
2гЯгУр - т х)(х}-т £ |
(>~^у) |
||||
1 |
<з*2 |
" |
вгх & |
f |
в * |
_ |
|
|
|
|
|
|
^ 3.2) |
Главны^ полудиаметры этого эллипса можно вычислить |
||||||
по формулам: |
|
|
|
|
|
|
*=J _ _ _ _ _ _ _ _2 У |
£ |
|
|
|||
|
’ C^ v |
/ - j |
/ |
А*г* ,2 &£ в 1 ' |
( 3. 3) |
|
|
|
|
|
|
|
|
? S |
|
|
, |
|
1 |
|
о
а их ориенткроБку сс и 90+cL по отношению к осям
* 4
пс формуле
|
|
t(^ 2 c k — |
|
|
или, |
умножая числитель и знаменатель <£ |
на |
знаменатель |
|
2 |
» а |
затем числитель и знаменатель 2 |
на |
знамена |
тель |
f |
и приведя подобные числа, получим |
|
|
155
' S x - s i |
(3.4) |
Здесь
K* 4 Zx>$(^ x G '$ ’
\ig 2 d . —
Как видим, для вычисления всех трех параметров эл липса достаточно знать элементы корреляционной матрицы.
Если случайные |
величины |
х , ^ |
взаимонезависимы,то |
" 0 и |
» |
2 s<5jL |
! Л ' ° ’ т *в * главные |
полудиаметры эллипса в данном случае расположены вдоль координатных осей. При ? эллипс вырождается
в линию, представляющую собой диагональ прямоугольника
со сторонами 2& |
х и |
2<jy_ . |
В промежуточных случаях |
||
больная полуось |
будет |
находиться в I и Шквадрантах, |
|||
если кх ^ > О |
I во П и ІУ, |
если |
Кх |
О . |
|
Очевидно, что |
чем больше |
ъ |
тем |
более вытянутым |
|
|
|
|
*>}( |
’ |
|
будет эллипс. Вероятность попадания случайной точки в
пределы области |
£ |
, |
ограниченной эллипсом рассеива |
|
ния (3 .2 ), легко |
вычислить, переходя К |
обобщенным |
||
полярным координатам ß |
, jP с полюсом в |
центре рас |
||
сеивания и с полярной осью, направленной по оси сим метрии эллипса:
156
р \ О с , у ) е - А , ] - § |
|
, |
|
|
2Я |
с |
|
|
|
= С' і ^ |
I 6 г Р с< / ^ |
= сг(<~е 2 ) |
‘ |
|
О |
О |
|
|
|
Якобиан преобразованія |
здесь |
мроиерцжеиален jO |
.Коэф |
|
фициент пропорциональности |
с2 |
можно найти исходя из |
||
условий нормировки, так иак прис-»°о вероятность стре
мится к единице н значит |
сг г |
і. |
|
|
|
Итак, |
|
|
7 |
|
|
|
|
|
-с* |
|
|
p [ ( X } V ) € iD c] = i - e 2 |
• |
( 3 .5 ) |
|||
Величина |
с определяет |
размеры области Д. |
и показы |
||
вает, каково |
соотношение между величиной полуоси эллипса |
||||
оиибок и средним квадратическим отклонением по этому |
|||||
направленно. |
Так, например, при |
с - |
I полуоси эллипса |
||
овибок равны средним квадратическим отклов%нием.Вероят ность нахождения точки внутри такого Эллииеа равно 39,3*, а сам эллипс называется среднеквадратическнм.
При с = 2 Р * 86,5** при с - 3 Р * 98,9*.
Рассмотрим еце два способа вычисления элементов эл липса оиибок. При решении задачи иа нлескести в самом общем виде можно записать следущув систему уравнений оиибок:
аі*+ |
+ |
* |
І * 1 , 2 , . . . , т .
1 5 7
Решая эту систему по методу наименьших квадратов; придем к системе из двух нормальных уравнений:
[ a a j ^ t + f â ] = 0
\ß^]= ^ ‘
Из предыдущего известно, что |
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
'•> |
^ = |
fz 2 |
? |
|
|||
где |
5 s |
- |
средняя |
квадратическая |
|
ошибка измерения. |
|||||
|
|
|
Можно показать, |
что |
|
|
|
|
|||
|
|
ѵ _ |
1 * °} |
’ |
р |
|
[ i f ] |
■’ |
|
||
|
|
Л |
27 |
/ гг |
J) |
|
|
|
|||
где |
D |
- определитель |
этой |
системы, |
|
|
|||||
|
|
D = [ a a j \ß g ] - [a 5_] -j |
|
|
|
|
|||||
X |
|
|
|
|
|
(j x |
и (j^ , |
вообще говоря, |
|||
|
|
|
|
|
|
не |
является |
экстремальными |
|||
|
|
|
|
|
|
ошибками в положении дли |
|||||
|
|
|
|
|
|
ной точки. |
Величина D от |
||||
|
|
|
|
|
|
направления |
координатных |
||||
|
|
|
|
|
|
осей не зависит. С измене |
|||||
|
|
|
|
|
|
нием направления координат |
|||||
|
|
|
|
|
|
ных осей |
могут |
изменяться |
|||
|
|
|
|
|
|
только |
величины |
[а а ] и |
|||
|
|
|
|
|
|
[вв ] . |
Поэтому |
для отыска |
|||
ния экстремальных значений ошибок нужно искать экстре мальные значения сумм [аа ] и [ bbJ . Возьмем прямоуголь ную систему координат и выберем точку, координатами
158