Файл: Болдырев, В. С. Методы математической статистики в гидрографии и кораблевождении учеб. пособие.pdf

Скачать файл (6,04Мб)

Заказать решение

ВУЗ: Не указан

Категория: Не указан

Дисциплина: Не указана

Добавлен: 24.10.2024

Просмотров: 121

Скачиваний: 1

ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.

которой будут а г- и е>г- . Из теории линий положения

известно, что а г- и могут быть представлены сле

дурщим образом (рис.16):

Здесь ^ г- - градиенты соответствующих линий положе

ния, а £3 - направление этого градиента. Нашей задачей является наховдение такого угла поворота Т осей ко ординат, чтобы величины [ a a j и [ в в ] имели экстре мальные значения:

Относительно новой системы координат эти формулы запишутся так:

r?= QZ.C O S* Т ; COS2Т+ o ] s i			Stn3T +
г <гг	г	а 1	і
tq'.sinZ^cosZisin2 T;

Ь9

ja a ] = \cj*cos2<z \c o s 2T+ [ £ s i n z ] s i n T +

+ \jfs in “c COS% ]sin 2 T 7

[ а а ] = [aa]co$2Tt[ ß if] s in T + \a ü ] s in 2 T	j
M = [aa]sirt 27+ \é é ]c o s 2T+ \ a o \ s i n 2 T .
Возьмем производную по T и приравняем ее	нули:

= - [ а a \s tn 2 Т +[ß£]sir?2T+ 2 [<*$]co s2 Т = 0.

а Т

Разделим на cos 2 Т ■

. _ _ _

[ « « ] - [ / * ]

Аналогичное выражение получим, дифференцируя \ß é J .

Обозначим экстремальяие ошибки через					А и ß '•
* ^	[* а У .	2	,2 [ * * ] '
	В	~ в €		І>
Выясним, какая из величин А				вли ß	максимальная,
а какая минимальная
	c o s2 T -
	]/‘ *	ф	Г
Вместо Ч г і	подставим его значение!

cos 2Т=-

« И Г

і+ -(И Г И ]У

160

[<*<*]- 1 & ] __________

cos 2T =

I /([ва] - Й / * 4 [ а *о2 '

Обозначим	корень через		^ :
		W - [ ^ o J
c o s2 T = ------------
		%	2 [ a i ]
sin			2 [ a i ]
sin	2Т~ t^ 2 T c o s 2 Т-			2	?
				2	?
	_	/ - ^ 2 Г			.
sin2T = -
2		У tcos2 T	%+f » a ] -	[éé]
cos T■ ~~2			2<f~		"
Полученные	значения подставим в выражения для сумм
[ а а ] , [ в в ]	. Тогда
Н			? )	і
М	- f	( и * [ « ] - г ;		•

величина ^ всегда положительная, поэтому [ аа j максимальная, а [ в в ] - минимальна. Следовательно,/)- больиая полуось, ß - малая полуось. Для вычисления элементов эллипса получим систему формул:

(3 .5 )

	,	гС ае ’Л
		[ o a ] - [ e é ]	’
Здесь	Г -	лмрекционян* угол	малой полуоси;
Т + 90	- диреиционный угол большой полуоси.

ГТ

Для определения четверти необходимо вычислять sinZJ

и co s2 T •'

s in 2 T =	2 [ a t ]	Ң - [ ^ J .
s in 2 T =	c o s2 T =	Ң - [ ^ J .
		%

6 случае неравноточности измерений необходимо учесть веса. В суммах в этом случае добавится величина веса.

Графоаналитический прием внчисления элементов эл липса оиибок:

jaüij = ^aa]cos2Tf [a£jS in 27 +\ß&\ 3 ir? ~ f					\
И —Jacrjsin T~ [&$} Sin2T+[ß'ëJ CO^T					*
Сложим и вычтем обе		строки:
[öcr] +[éé] - [а а ] +\ié ]
\|а а ] - [ # ]	« ( [ а а ] - [ß é ])c o s2 T + 2 [a é ]sin 2 J .
Так как a{ - £ f cos		*	a { a {	cos2'ci		, то
	[ora]+■\ß i ] = [^ 2 J•
Обозначим	[aot]=A	и	[ß€] = ß	j	[a é] = C .
Тогда
H L \é i] - (A -ß )c o s 2 T + 2 C $ in 2 T -

Вынесем c o s2 T и тогда

( A - B ) j itt p l 2 T ■ \(А-в)‘*4Сг] ■

162

Окончательно

[ee] - \ß t] = ]I(A-B) г+4С* j

или

[aar] - [éi] =)/( [aa]~ \ß^Y+ ^[а€]2'-

Спроектируем на оси координат вектор 7 проведя

его под двойным дирекционным углом к оси координат»

& с о 8 2 Ъ - $ \ с ° б 2 г г £ в г п % >

£ с о з 2 ТГ а } + £ ? ;

sin 2 ТГ		2 $ \ cos Г; s i n Г г- у
sin 2Z} = 2&І			.
Возведем обе	части равенств		в квадрат и слоям n t
2 \2	/ 2	J S 2 \ 2 /	2 /)2
В векторной форме		это равенство

[ / ] = [°°1 ~ ( / £ ] * 2 [ а # ] ;

	l« « j	Iой J У
[ага У » [ ß ^ y	" экстремальные значения сумм,т.е.
полуоси эляпса	опбок .	Для их нахождении имен два
Уравнения»

163

Угол

находится в

результате построения

как

биссектриса угла замыкав

шей стороны так называемо

го

квадратичного полигона.

Под квадратичным полигоном

понимается векторная

суш а,

составленная

из квадратов

векторов градиентов, про

Р и с.17

веденных

под двойными ди-

рекционными углами (рис.17).

Пример.

Дано

40;

- І0 * Л

1 2 ,5 {

Z, -

0 ° ;

Т2

= 30°; z 3

° ;

Г*

1 2 0 ° .

Вычислить элементы эллипса (рис.18):

^ f

400,

^ =

1500;

ЮО;

» 156;

[ j Z]

2255;

[ a a } - [ é é ]

1 0 1 0 ;

1240;

\[ р 2]\ =

1500;

2255;

/ - / =

1600;

44,0;

В =

18,0.

Для	сложения нескольких эллипсов необходимо каждый
из них	представить в виде двух сопряженных полудмамет-
ров. В	результате получим ряд вектормадьимк виибох,

приложенных к одной точке. Действуя по изложенным ранее правилам, аналитически или графоаналитическим путем получим элементы результирующего эллипса.

§ 22. Опенка точности положения точки на плоскости одним числом

Корреляционная матрица, а также наглядная геометри ческая характеристика рассеяния - эллипс ошибок пол ностью характеризуют точность положения точки на плос кости. Однако для вычисления их элементов необходимо звать, ианример, ориентации исходных линий положения, * эти данные бывают известны не всегда. Кроме того, на практике часто нужно сравнивать точноств определевия отдельных точек на воде или на суше. Выполнить такое сравнение сразу по всем трем элементам корреляционной матрицы затруднительно. По названным соображниям, на Флоте получила широкое распространение такая характе

ристика рассеивания, как "круговая средняя квадретичес-

165

кая опвка" или "средняя квадратическая ошибка места". Термин этот еце не устоялся, однако обычно под ним по нимает радиус круга, определяемый следущии выражением:

ГА= -\ІА2+Вг ,	(3 .8)
где д и ß - полуоси среднего	квадратического эллипса.

Можно предложитъ и другие способы задания радиуса круга. Например,

# = А

или

(3 .9)

Если эллипс опбок ориентирован по направление осей прямоугольной системы координат Х О У • то вероятность попадания случайной точки в пределы области D , огра ниченной среднеквадратическим эллипсом, будет

± .(* L + j £ )

Р= 2 S A ß

Перейдем к полярной системе координат: