Файл: Болдырев, В. С. Методы математической статистики в гидрографии и кораблевождении учеб. пособие.pdf

Скачать файл (6,04Мб)

Заказать решение

ВУЗ: Не указан

Категория: Не указан

Дисциплина: Не указана

Добавлен: 24.10.2024

Просмотров: 116

Скачиваний: 1

ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.

	( e ;- p 2 ) s i « 2 T - 2 [ f * t J •
Сравнение свободен* членов дает
-(P'Cos		TAN'* Рг sin Ta N2)~ [pa £ J				,
-	(P' siгг Та Nr Pz cos Та n2) —\ f i £ ]					-
Из этих систем уравнений мои !м найти						величиям
		р, ,	Р,	«	т
затем	найдем	A N t	и	A N 2	•
Таким образом,			задача определении кеиэаеетимк и
оценки их точности полностью решается:
		[fcrt]cts Т+ [ f it ] Sin Т
	a n = -			Pr
				Pr
	a N ,	[patjsin T- [pg£J cos T
	a N ,		.
	$		\?а а ] - { р и ]

Это уравнение показывает, что экстремальные овибки расположены по направлениям двух эквивалентных линий полохения, модули экстремальных овибок равны Pt и Р0 •

Как обычно, в качестве весов приняты величины, обрат ные дисперсиям, то есть

Р = ~В2

где А и В - полуоси результирующего эллияса овибок.

Нахождение элементов результирующего эллипса и вероят

1 7 2

нейших значений координат (или переноса A N f , ДЫг )

можно упростить, применив графоаналитический прием ре шения.

Если уравнения исходных линий положения даны в нор мальной Форме, то

а і = cos Ti ;

= s in

= - д п ; ■

Теперь получим:

р,+р2 = 1 °] ;

(P-Pg )cos2T=[f>cosZZ]

(Pr Pz )sin2T= [P sin2 7] ;

P ,A N t ^ [ p A n c o s ( T - T ) \= P cr )

P2AN = [ fA « s in ( 7 - T ) ] = P v ;

второе и третье уравнения легко представляются геомет рически. Для их решения нужно построить полигон из

в е к т о р о в , направив эти векторы под углом Z Z к из

бранной системе координат. Геометрическая сумма этих векторов по абсолютной величине

Угол между	замыкающей полигона и осью Х равен 2Т.
Таким образом,	подучаем следующее репение:

ITS

>{[Л -?] :


Для определения	переносов	a N,	и a Nz построим
полигон переносов,	составленный из		векторов				•
Дирекционные направления этих		векторов		Т2-	.	Проектируя
замыкающую полигона	переносов	на оси &		и	V	,	имеющие
направления Т и Т+900, получим проекции				Рц	и р		:

Дальне по переносам ANt и a N2 надо построить

эквивалентные линии полохения и в их пересечении по лучить место. Рассмотренный выне способ эквивалентного преобразования исходной системы уравнений погреиностей достаточно удобен для ручных вычислений. Однако схема решения в этом случае все-таки останется громоздкой. В ряде задач оолее целесообразно использовать другие эк вивалентные преобразования. Поэтому рассмотрим общие вопросы эквивалентных преобразований. Согласно опре делению эквивалентными системами называются такие, у которых ревения, полученные по методу найменьиих квад ратов, одинаковы. А для этого достаточно, чтобы исход ные системы имели одинаковые нормальные уравнения.

Известио, что в самом общем виде систему уравнений погрешностей можно записать так»

AX- L=V -

(ЗЛО)

174

Запилен эквивалентную ей систему в такой хе форме:

	a ' X - L ' - V ' 1		( з . Н )
где a '-Q A	I L‘=QL я	К = Q V .

Здесь Q - матрица преобразования. Обозначим через

р ' весовую матрицу эквивалентной системы и напиием систему нормальных уравнений:

A rQ Tp ,C ( A X - A Tq TP lQL = 0 .

Tax как системы уравнений погрешностей по условию эквивалентны, то системы нормальных уравнений должны быть одинаковыми. Отсюда получим условие эквивалентнос ти двух систем:

A TQ TP ' Q = A TP .	(3.12)
Подбирая матрицу преобразования Q	так, чтобы ус

ловие (3.12) выполнялось, найдем способ эквивалентного преобразования исходной системы.

Определим зависимость между корреляционными матрица ми исходной и эквивалентной систем уравнений погрешнос

тей. Для этого обе		части	(3.12)	умножим справа		на K Q r9
где к - корреляционная			матрица исходной системы.				Р
результате	получим	в правой части (3.12) A			Q T	,	а в
левой части	A TQTP 'Q К 6)Т
Для того	чтобы	равенство не		наруиалось,	необходимо

K ,= (P ')~ '= Q K Q T.

Отсюда следует, что при эквивалентном преобразовании корреляционная матрица системы преобразуется так же,как

175

преобразуется корреляционная матрица случайного векто ра при его линейном преобразовании.

Большой интерес при использовании вычислительной техники представляет собой эквивалентная замена систе

мы уравнений		погрешностей системой, состоящей из п
уравнений	с	п	неизвестными. Рассмотрим этот случай
подробнее.
Полоним	Q= C~‘A ‘P			. Здесь	С	- матрица коэффициен
тов нормальных уравнений исходной системы.
Тогда
	А '- Q A -C 'W P A = C~‘C - J
	l!= ql = c 'a tp l = x .
X - матрица оценок				неизвестных,		найденных по методу
наименьших	квадратов.
Таким образом, эквивалентная					система приобретает в
данном случае			следующий вид: