Файл: Болдырев, В. С. Методы математической статистики в гидрографии и кораблевождении учеб. пособие.pdf

где 4>(t) - плотность вероятности соответствующего

закона распределения (например, Релея или Гаусса);

Р, 2(t) - границы интервала значений вероятностей,

в пределах которых находится вероятность появления случайного числа t , имеющего распределение <f(t) •

Годным аргументом з эти таблини служит вероятность Р , выбранная из таблиц равномерной плотности. Про­

кладку линий положения производят в следующем порядке. От заданной точки перпендикулярно направлению линии

положения откладывают величину

Л п - t с~ ,

где $ - среднее квадратическое смещение линии по­

ложения.

Вычислив вероятнейшее значение координат (при числе ЛП больше двух), нанесем точку на модель рельефа и сни­ мем значение глубины. По полученным таким образом "про­ мерным" профилям восстановим рельеф и сравним его е первоначальным. В качестве количественного показателя степени искажения рельефа можно принять среднее квадра­ тическое отклонение глубины в фактической и запланиро­ ванной точках или же среднее квадратическое отклонение "промерного" и запланированного профилей. Указанным путем можно моделировать не только промер, но и все процессы исследования геофизически полей, внося слу­ чайные величины в результате зажеров и т.п . Аналогично можно исследовать различные методы обработки резуль­ татов обсерваций.

Пример Т. Произвести моделирование ошибок определе­ ния места, если ЛПІЧ имеет направление NS , а

Из таблицы случайимх чисел, распределенных по за­ кону равномерной плотм ет и, мИерем два числа, напри­

д п , = 0,П і -= г &,і «S ;

Л0,2 2 ~ - 0 , 4 x 5 .

Условимся, что если первая цифра случайного числа четная, то знак смещения положительный, если нечетная, то знак смещения отрицательный (рис. 22).

X

Т94

Пример 2. В условиях предыдущей задачи произвести моделирование оиибки места, если

в , = = 2 к * •

Из таблицы случайных направлений выберем число.Пусть это будет 270°. Найдем случайное число. Пусть 560. По 560 выберем t = і ,3 :

д п = і ) 3 ' 2 := 2 , 6 к 5 -

Разобранные примеры, конечно, не исчерпывают всего многообразия задач, реыаеинх методами статистического моделирования. К таким задачам можно отнести исследова­ ние эффективности различных мероприятий по навигацион­ но-гидрографическому обеспечение, определение степени влияния различных факторов (надежности, вероятности использования средств навигационного оборудования и т .п .) яа эффективность применения оружия и техничесиих средств кораблей.

Моделируя элементарные события в каждой такой зада­ че, мы можем получить ветвящийся процесс или "дерево событий" и найти конечный результат. Повторяя данные вычисления многократно, получим статистический материал, необходимый для расчета характеристик (вероятности, рассеивания и т .п .) окончательного события.

195

Глава ГУ. ПРИМЕНЕНИЕ. МЕТОДОВ ТЕОРИИ СЛУЧАЙНЫХ ФУНКЦИЙ ДЛЯ РЕШЕНИЯ ГИДРОГРАФИЧЕСКИ МОКЕАНОГРАФИ­

ЧЕСКИХ ЗАНЧ

§ 27. Характеристики случайных Функций и их получение из опыта

Результаты специально выполненных исследований по­ казали, что многие гидроыетеоэлементы, а также различ­ ные параметры некоторых геофизических полей могут быть представлены случайными функциями времени. Их вероят­ ностные характеристики (математические ожидания, кор­ реляционные функции, спектральные функции) обычно опре­ деляются путем обработки экспериментального материала. Применяемые при этом методы в принципе не отличаются от обычных методов обработки, рассматриваемых в матема­ тической статистике, однако имеют некоторые особеннос­ ти, связанные с тем, что ординаты реализаций случай»« функций являются реализациями зависимых случайных ве­ личин.

Рассмотрим задачу нахождения оценки математического ожидания случайной функции л-({) . Эта задача довольно часто возникает при обработке результатов гидрографи­ ческих и океанографических исследований, так как сред­ нее значение измеряемой величиям необходимо для карти­ рования различных геофизических элементов. Кроме того, нас может интересовать значение некоторой неслучайной функции времени или координат, на которую накладывают­ ся случайные помехи.Естественно, что эти помехи следует

1 9 6

отфильтровать и получить оценку математического ожиданил по возмохиѳсти в "чистом виде” . Иными словами, в данном случае желательно найти наиболее эффективную из возможных оценок.

можно рассматривать как яайденнме из опита значения случайной величины X ( t , ) , оценка математического ожи­

дания для которой определяется формулой

197

п

г=/

Найдем значенія математического ожидания обеих час­ тей посіеднего равенства и, учитывая, что для любого

номера г - реализации М [Х; ( t , ) ] = X ( t , ) ,

получим

/v[X(t,)]=X(t,) .

Таким образом, получили несмещенную оценку математи­ ческого ожидания случайной функции и намли дисперсию обеих частей равенства (4 .1 ). Учитывая, что справа стоит сумма независимых случайных величин, имеющих

одинаковую дисперсию б ^ ((і) =Кх ^ , і , ) >

получим

Таким образом, оценка (4.1) является не только не­ смещенной, но и состоятельной, так как

€ i m l ) [ x ( t , ) ] = 0 ,

/ 7 — 0 0

при любом t, •

Эффективность оценки (4 .1 ) может быть улучпена за счет сглаживания случайных ооибок, возникающих при осреднении реализаций случайной величины X(t,) .Дейст­ вительно, пусть, например, известно, что Х = c o n s t .

Тогда, очевидно, можно надеяться уточнить оценку мате­ матического ожидания, произведя усреднение полученных

198

значений X ( t , ) по времени. Однако эту возможность

на практике можно использовать довольно редко, так как обычно закон изменения математического ожидания ве времени нам неизвестен, а эту зависимость как раэ и нужно определить по результатам измеревий

Перейдем теперь к рассмотрении стационарных едучаЬ ных функций. Здесь основная особенность еемежг > то»,

заметить, что в практике гидрографии, океанографии и метеерологии очень часто двух реализаций какого-либо процесса физически существовать не может, так как больаинство таких процессов протекает в реальном времени.

Лля допустимости замены усреднения по множеству усреднением по времени необходимо, чтобы связь между ординатами случайной функции, взятыми в различные мо­ менты времени, убывала достаточно быстро.,я этом случае одну реализацию можно приближенно рассматривать как совокупность многих независимых реализаций. Таким об­ разом, различие между двумя способами обработки ис­ чезает. Установим количественные признаки возможности

межи допустимо, то за оценку математического ожидания нужно принять выражение

199