Файл: Болдырев, В. С. Методы математической статистики в гидрографии и кораблевождении учеб. пособие.pdf

Умножим и разделим правую часть (4 .2 ) на А '•

Устремляя интервал А к нулю, замечаем, что сумма,

стоящая справа, обратится в интеграл и мы получим

г

о

Проверим, в каких случаях (4 .4) можно считать не­ смещенной оценкой математического ожидания. Для до­ казательства применим к обеим частям равенства операцию нахождения математического ожидания:

учайного про­

несся - величина постоянная. Поэтому

Такиіі образом, для выполнения условий несмещенности яе требуется никаких добаючных свойств случайной функции, кроме ее стащионарности. Для того чтобы сценка (4 .4 ) была состоятельной, на корреляционную функцию ирощесса К(Т) необходимо наломть добавочные ограниче­ ния. Найдем дисперсию оценки X *

о

или

.XX

0

Если 2) [X i будет стремиться к нулю при росте Т ,то оценка будет состоятельной. Выражение ('+.'5) будет стре­

€ іт К (Т ) —О 1

Чтобы иметь возможность пользоваться усреднением по времени ординат одной реализации, достаточно потребо­ вать, чтобы интеграл ет корреляцией, о? функции, взятый в пределах (£>••) , был конечен, то есть

201

Т~~°° .

Стационарные случайные функции, для которых усред­ нение по реализациям можно заменить усреднением по вре­ мени, носят название эргодических, а доказанная выше теорема об условиях (4 .6 ), обеспечивающих эргодичность, называется эргодической теоремой. Эргодичность случай­ ной функции может быть нарушена в том случае, когда в состав случайного процесса входит случайная величина. Эта случайная величина может появиться, например, за счет случайного смещения нуля регистрирущего прибора. Тогда можно записать, что

где j[ ( t) - записываемая случайная функция;

г- случайная величина.

Теперь Формула (4 .5) будет

€ i m D [ x ] = D ~

г — —

Таким образом, условия эргодичности здесь ие выпол­ няются. На практике обычно эргодичность случайной функции определяется исходя из физических соображений.

202

В теории вероятностей доказывается, что если ѵн не располагаем никакими добавочными сведениями о свойствах случайной функциих (t) , кроме ее стационарности, то

Применение весовой функции для определения мателияир#«- кого ожидания равносильно применению математтЪоШгЬ'

Рассмотрим теперь получение оптимальной оценки мате­ матического ожидания. Б качестве условия оптямгльности

Подставив в это равенство значения оценки математическо­

2 0 3

=м

с

и учитывая, что

и

получим интегральное уравнение для определения весовой функции г

О

О**s < Т •

Решить это уравнение можно, используя спектральное разложение случайной функции. Для того, чтобы оценка математического ожидания не зависела от значений реали­ зации вне интервала (О,Т) , спектральная характеристика должна быть целой функцией со , представляемой в виде

Кроме того, требование обеспечить получение минимума дисперсии оценки позволяет поставить дополнительные условия, которым должна удовлетворять спектральная характеристика Sr (co) . Если спектральная плотность

процесса рациональная, то определение ST(u)) сводится

к нахождению коэффициентов разложения $т(со) . Затем,

используя обратное преобразование ■іурье выражения

204

(4 .7 ), можно найти значение оптимальной весовой функции. Так, например, если

где а - _ вещественные постоянные, а полином, стоящий

в знаменателе, имеет нули, лежащие только в верхней полуплоскости, то наиболее эффективной оценкой будет

где

Таким образом, использование спектральной плотности случайной функции позволяет улучшить оценку математиче­ ского ожидания.

Несмотря на громоздкие и трудоемкие расчеты,изложен­ ный выше метод нахождения математического ожидания мажно рекомендовать для практического применения в тех случаях, когда нужно получить по возможности точное значение этой характеристики. Такая необходимость может возникнуть, например, при непрерывных измерениях на­ вигационного параметра с помощью прибора, имеющего значительные погрешности. Предположим, что имеется п реализаций одной и той же стационарной случайной функ­

2 0 5

Теперь

г ' 2- ? - г 7}( ^ - ~ ) k ( z ) cI z

Gf Ti <

Г Од

Произведя усреднение по всем X j , получим

I

і~г

либо особенностями обработки. При этом необходимо ре­ шить, каким должен быть интервал дискретности для того, чтобы точность получаемых оценок существенно не ухудвалась. Применительно к нахождению оценки математического ожидания вопрос сводится к нахождению такого максималь­

2 0 6